1/wurzel(k(k+1)) Konvergent oder divergent

Question

Aufgabe:

Summe von 1 bis unendlich von : 1/wurzel(k(k+1)) auf Konvergenz untersuchen

Problem/Ansatz:

Ich denke, die Reihe ist divergent, aber komme mit dem Minorantenkriterium nicht weiter, wie könnte ich vorgehen?

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wird der Nenner eines positiven Bruchs vergrößert, verkleinert sich der Wert des Bruchs:$$\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{\sqrt{k(k+1)}}=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{\sqrt{k^2+k}}\pink\ge\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{\sqrt{k^2+k^{\pink2}}}=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{\sqrt{2k^2}}=\frac{1}{\sqrt2}\sum\limits_{k=1}^\infty\frac1k\to\infty$$

Comments

Danke, so sieht es ja einfach aus... wird Zeit, dass ich da selber drauf komme:)

Answer 2

Verwende das Integralkriterium. Da \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x(x+1)}}>0\) auf \([1;\infty)\) und monoton fallend ist, liefert die Nicht-Existenz von \(\int_1^{\infty}\!f(x)\,\mathrm{d}x\) die Divergenz der Reihe.

https://de.wikipedia.org/wiki/Integralkriterium

Comments

Danke, das ist schonmal hilfreich, kannst du vielleicht erklären, woran ich die nicht Existenz erkenne?

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Wenn das Integral endlich ist, existiert es. Da es ein uneigentliches Integral ist, setzt du für die obere Grenze zum Beispiel \(k\) und lässt dann \(k\rightarrow \infty\) laufen. Das Integral divergiert und damit auch die Reihe.