Artikulieren mit dem Delta-Epsilon-Kriterium

Question

Hallöchen,

Ich habe folgende Aufgabenstellung:

Text erkannt:

Sei \( A \subset \mathbb{R} \) und \( x_{0} \in A \). Sei \( f: A \rightarrow \mathbb{R} \) eine in \( x_{0} \) stetige Funktion. Sei \( c \in \mathbb{R} \) mit \( f\left(x_{0}\right) \neq c \). Zeigen Sie, dass ein \( \delta>0 \) existiert, so dass \( f(x) \neq c \) für alle \( x \in A \) mit \( \left|x-x_{0}\right|<\delta \).

Zu der Aufgabenstellung habe ich eine passende Skizze gemacht, jedoch weiß ich nicht, wie ich bei dieser Aufgabe auf einen passenden Beweis komme. Ich werde wahrscheinlich mit dem Delta-Epsilon-Kriterium arbeiten aber ich sehe keinen logischen Ansatz den ich verfolgen kann. Für Anregungen wäre ich dankbar.

Comments

Wähle \(\epsilon\) so, dass

$$|f(x)-f(x_0)|< \epsilon \Rightarrow f(x) \neq c$$

Orientiere Dich dafür an Deiner Skizze

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Du meinst "argumentieren" ?

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Ach da fällt mir das schöne alte Lied von den Doktoren ein.

Deine Gewalt ist nur ein stummer Schrei nach Liebe
Deine Springerstiefel sehnen sich nach Zärtlichkeit
Du hast nie gelernt dich zu artikulieren
Und deine Eltern hatten niemals für dich Zeit

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Warum ausgerechnet dieses negative Lied zum Thema?

Das solltest du Neo-Nazis oder manchen AfDlern vorlesen und gut trainiert sein, um abzuhauen, wenn sie es missverstehen.

Leider enthält das Lied bitteren Wahrheiten.

Wieviel % der Kinder heute schätzt du können ein Lied davon singen?

https://www.spektrum.de/news/depression-ungeliebt-als-kind-depressiv-als-erwachsener/1969615

Answer 1

Das \(\varepsilon-\delta\)-Geplänkel hat was mit Nähe zu tun. Rein intuitiv jetzt erstmal:

Da \(f\) in \(x_0\) stetig sind, sind für Inputs in der Nähe von \(x_0\) auch die Outputs in der Nähe von \(f(x_0)\). Stetigkeit bedeutet hier: Du sagst: "Ich will so-und-so-nah (\(\varepsilon\)) an \(f(x_0)\) mit den Outputs sein", und ich sage dir: "Dafür musst du so-und-so-nah (\(\delta\)) an \(x_0\) mit den Inputs sein.".

Wenn es bei Stetigkeit also um Nähe geht, und du sollst garantieren, dass du mit den Outputs nicht \(c\) triffst, dann ist es doch sehr naheliegend, dass du den Outputs sagst, so nah an \(f(x_0)\) zu sein, dass sie gar nicht \(c\) treffen können. Der Abstand zwischen \(f(x_0)\) und \(c\) ist ja einfach \(|f(x_0)-c|\). Fordere einfach von den Outputs eine noch kleinere Nähe als das.