Zeigen Sie: Es gilt a_{n}=\frac{2 ·(4^{n}-1)}{3} \quad, \forall n ∈ ℕ .

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

2. Aufgabe: Induktion
Gegeben sind die 2al-Zahlen \( a_{n}=\left.1010 \ldots 10\right|_{2}, n \in \mathbb{N} \), dass heißt \( a_{n} \) ist gegeben durch das \( n \)-malige Hintereinanderschreiben von 10 interpretiert als 2al-Zahl.
Zeigen Sie: Es gilt \( a_{n}=\frac{2 \cdot\left(4^{n}-1\right)}{3} \quad, \forall n \in \mathbb{N} \).

Ich muss doch für a_n erstmal eine summenschreibweise finden oder

Comments

2al-Zahl: Ist schon Karneval?

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Warum? Was meinst du

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Ich finde die Wortschöpfung Belustigung, hat nix mit Msth zu tun.

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Kennst du etwa nicht die fleischfressenden Karne-al-Zahlen?

Answer 1

Ich denke, das geht mit  \(   a_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1} 2*4^{k}    \).

Comments

Wie sieht dann die Induktion mit n-> n+1 aus

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\(  a_{n+1}=\sum\limits_{k=0}^{n} 2*4^{k} = 2\cdot4^n + \sum\limits_{k=0}^{n-1} 2*4^{k}  =  2\cdot4^n + a_n \)

\( = 2\cdot4^n +  \frac{2 \cdot\left(4^{n}-1\right)}{3} = \frac{ 6\cdot4^n }{3}+  \frac{2 \cdot\left(4^{n}-1\right)}{3}=\frac{6\cdot4^n+2 \cdot\left(4^{n}-1\right)}{3} \)

\(=\frac{6\cdot4^n+2 \cdot 4^{n}-2}{3}=\frac{8\cdot4^n-2}{3}=\frac{2\cdot4^{n+1}-2}{3}=\frac{8\cdot4^n-2}{3}=\frac{2 (4^{n+1}-1 )}{3}   \)

Answer 2

Du brauchst hier keine Summe.

Du musst nur wissen, was passiert wenn Du an eine Dualzahl 00 dranhängst (nämlich: mal 4) und 10 dazu addiere (nämlich: +2).

Damit gilt also \(a_{n+1}=4\,a_n+2\) und die Induktion sollte kein Problem sein. Wenn doch, lade Deine Rechnung dazu hoch.