Flächen berechnen, Integration durch Substitution

Question

Hiii, ich habe Probleme beim lösen dieser Aufgabe. Ich habe es mehrmals durchgearbeitet, komme aber immer wieder auf eine falsche Lösung. Kann mir jemand helfen?

Text erkannt:

$\int \limits_{2}^{\sqrt{e+3}} \frac{x}{x^{2}-3} d x$

Und hier habe ich die 2a gemacht, hatte aber dann bei der 2b große Schwierigkeiten. Ich benötige eine ausführliche Erklärung dazu, wenn möglich!

Text erkannt:

2. Gegeben ist eine Funktion $f(x)=e^{0,25 x}$.
a) Berechnen Sie die Gleichung der Tangente an der Stelle $X_{0}=4$.
b) Funktionsgraph, y-Achse und Tangente schließen ein Flächenstück ein. Berechnen sie die Fläche. Prowem

Comments

Das sind 2 Aufgaben in einer Frage. Welche möchtest du denn beantwortet haben?

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Ich hätte gerne die obere Aufgabe und 2b.

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Das Integral findet man hier sehr leicht, wenn man weiß:

f(x) = ln(g(x)) -> f '(x) = g'(x)/g(x)

Im Zähler steht die Ableitung des Nenners multipliziert mit 1/2.

-> F(x) = 1/2*ln(x²-3)

Answer 1

$\int \limits_{2}^{\sqrt{e+3}} \frac{x}{x^{2}-3} d x$

Substitution:

$u=x^2-3$         $\frac{du}{dx} =2x$        $dx =\frac{1}{2x}du$

Grenzen des Integrals verändern:

untere Grenze: $x^2=u+3$     $x=±\sqrt{u+3}$           $2=±\sqrt{u+3}$         $4=u+3$      $u=1$

obere Grenze:    $\sqrt{e+3}=±\sqrt{u+3}$           $e+3=u+3$            $u=e$

$\int \limits_{1}^{e} \frac{x}{u} \cdot \frac{1}{2x}du=0,5\int \limits_{1}^{e} \frac{du}{u} =[0,5 ln( u)] _{1}^{e}=0,5$    mit $ln (e)=1$  und $ln (1)=0$ 

$f(x)=e^{0,25 x}$      $f'(x)=e^{0,25 x} \cdot 0,25$

$f'(4)=e^{0,25 \cdot4} \cdot 0,25 =0,25e$

Tangente:

$f(4)=e$

$\frac{y-e}{x-4} =0,25e$

$y-e =0,25e \cdot x-e$

$y=0,25e \cdot x$

$A_1=\int\limits_{0}^{4} e^{0,25x}dx=\int\limits_{0}^{4} e^{\frac{x}{4}}dx$

Substitution: $u= \frac{x}{4}$    $du= \frac{1}{4}dx$        $dx= 4du$

Grenzen des Integrals verändern:

untere Grenze: $x=4u$      $0=4u$         $u=0$

obere Grenze:  $4=4u$        $u=1$

$A_1=\int\limits_{0}^{1}e^{u} \cdot 4du=4\int\limits_{0}^{1}e^{u}du=[4e^{u}]_{0}^{1}=4e-4$

$A_2=\frac{4e}{2}=2e$

$A=A_1-A_2=4e-4-2e=2e-4$

Answer 2

Hallo

das Ergebnis des Integrals ist 1/2*ln(x²-3) die Grenzen einsetzen soltest du doch können lne=1, ln(1)=0

für 2b) hilft dir ne Skizze, dann siehst du das du f(x)-t(x) von 0 bis 4 integrieren musst. (t(x) die Tangente aus a.

Gruß lul