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Aufgabe: Differenzenquotient und Differentialquotient

a) Ermittle näherungsweise die Steigung der Funktion f(x)=1/x² an der Stelle x=2, indem du den Differenzenquotienten mit

Δ x=0,1 verwendest.

b) Berechne nun die exakte Steigung von f an der Stelle 2.


Problem/Ansatz:

Bei Punkt a weiß ich nicht, wie ich mit Δ rechnen soll? Dies sollte doch die mittlere Änderungsrate sein? Irgendwie fehlt mir da ein x und ein y?

Punkt b muss ich wahrscheinlich mit der ersten Ableitung die Steigung ausrechnen (momentane Änderungsrate)?

Bitte um Hilfe. Danke

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wie ich mit Δ rechnen soll? Dies sollte doch die mittlere Änderungsrate sein

Δ allein ist hier keine Größe, Δ kommt nur in Kombination vor. Δx ist eine (meist kleine) Intervall-Länge auf der x-Achse, Δx ist also ein (einziger) Name, der eben aus zwei Buchstaben besteht (und zusammen geschrieben wird). Entsprechendes gilt für die Intervall-Länge auf der y-Achse, die mit Δy bezeichnet wird.
Die mittlere Änderungsrate (=Sekantensteigung ms) innerhalb des Intervalls von x bis x+Δx ist dann der Quotient dieser Intervall-Längen (→ Steigungsdreieck) ms = Δy / Δx.

Da es bisher sonst niemand korrigiert hat :
Δx kann auch negative Werte annehmen, wohingegen Intervall-Längen durchweg positiv sind

3 Antworten

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a) \( \frac{\frac{1}{(2+0,1)^2}-\frac{1}{2^2}}{0,1} \)

b) ich schreibe Δx=h

\( \frac{\frac{1}{(x+h)^2}-\frac{1}{x^2}}{h} \) berechnen. Dann h→0.

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Kannst du mir bitte b) vorrechnen? Ich habe damit Probleme.

ggT22: Du wirst doch wohl noch Bruchrechnung können!

Hier habe ich Probleme zum Ende zu kommen. Ich komme nach der Bildung des Hauptnenners nicht weiter.

\( \frac{\frac{1}{(x+h)^2}-\frac{1}{x^2}}{h} \)=\( \frac{-2x-h}{x^2(x^2+2xh+h^2)} \). Oder brauchst du auch noch einen Zwischenschritt?

Ja, bitte ganz ausführlich, wenn möglich.

Jetzt wundere ich mich aber sehr, woher du deine unglaublich vielen Antworten hast.

Leider streikt bei mir Latex, sodass ich den Zwischenschritt nicht lesbar schreiben kann.

\( \frac{\frac{1}{(x+h)^2}-\frac{1}{x^2}}{h} \)= \frac{a}{b}·\frac{a}{b} = \( \frac{-2x-h}{x^2(x^2+2xh+h^2)} \). O

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Mit \(\Delta x \) bezeichnet man in diesem Zusammenhang Werte, die eine Abweichung wenig von \( x \) darstellen. In der Formel für den Differenzenquotienten sollte dieser Ausdruck also vorkommen. Alternativ kannst du aber auch mit \( h=0,1 \) arbeiten.

b) ist korrekter Ansatz.

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Kontroll-Lösungen

a)

(f(2 + 0.1) - f(2)) / ((2 + 0.1) - (2)) = - 205/882 ≈ -0.2324

b)

f'(2) = -0.25

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