Wie rechne ich mit Δ x?

Question

Aufgabe: Differenzenquotient und Differentialquotient

a) Ermittle näherungsweise die Steigung der Funktion f(x)=1/x² an der Stelle x=2, indem du den Differenzenquotienten mit

Δ x=0,1 verwendest.

b) Berechne nun die exakte Steigung von f an der Stelle 2.

Problem/Ansatz:

Bei Punkt a weiß ich nicht, wie ich mit Δ rechnen soll? Dies sollte doch die mittlere Änderungsrate sein? Irgendwie fehlt mir da ein x und ein y?

Punkt b muss ich wahrscheinlich mit der ersten Ableitung die Steigung ausrechnen (momentane Änderungsrate)?

Bitte um Hilfe. Danke

Comments

wie ich mit Δ rechnen soll? Dies sollte doch die mittlere Änderungsrate sein

Δ allein ist hier keine Größe, Δ kommt nur in Kombination vor. Δx ist eine (meist kleine) Intervall-Länge auf der x-Achse, Δx ist also ein (einziger) Name, der eben aus zwei Buchstaben besteht (und zusammen geschrieben wird). Entsprechendes gilt für die Intervall-Länge auf der y-Achse, die mit Δy bezeichnet wird.
Die mittlere Änderungsrate (=Sekantensteigung m_s) innerhalb des Intervalls von x bis x+Δx ist dann der Quotient dieser Intervall-Längen (→ Steigungsdreieck) m_s = Δy / Δx.

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Da es bisher sonst niemand korrigiert hat :
Δx kann auch negative Werte annehmen, wohingegen Intervall-Längen durchweg positiv sind

Answer 1

a) \( \frac{\frac{1}{(2+0,1)^2}-\frac{1}{2^2}}{0,1} \)

b) ich schreibe Δx=h

\( \frac{\frac{1}{(x+h)^2}-\frac{1}{x^2}}{h} \) berechnen. Dann h→0.

Comments

Kannst du mir bitte b) vorrechnen? Ich habe damit Probleme.

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ggT22: Du wirst doch wohl noch Bruchrechnung können!

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Hier habe ich Probleme zum Ende zu kommen. Ich komme nach der Bildung des Hauptnenners nicht weiter.

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\( \frac{\frac{1}{(x+h)^2}-\frac{1}{x^2}}{h} \)=\( \frac{-2x-h}{x^2(x^2+2xh+h^2)} \). Oder brauchst du auch noch einen Zwischenschritt?

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Ja, bitte ganz ausführlich, wenn möglich.

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Jetzt wundere ich mich aber sehr, woher du deine unglaublich vielen Antworten hast.

Leider streikt bei mir Latex, sodass ich den Zwischenschritt nicht lesbar schreiben kann.

\( \frac{\frac{1}{(x+h)^2}-\frac{1}{x^2}}{h} \)= \frac{a}{b}·\frac{a}{b} = \( \frac{-2x-h}{x^2(x^2+2xh+h^2)} \). O

Answer 2

Mit \(\Delta x \) bezeichnet man in diesem Zusammenhang Werte, die eine Abweichung wenig von \( x \) darstellen. In der Formel für den Differenzenquotienten sollte dieser Ausdruck also vorkommen. Alternativ kannst du aber auch mit \( h=0,1 \) arbeiten.

b) ist korrekter Ansatz.

Answer 3

Kontroll-Lösungen

a)

(f(2 + 0.1) - f(2)) / ((2 + 0.1) - (2)) = - 205/882 ≈ -0.2324

b)

f'(2) = -0.25