Binomische Formel Schreiben Sie als Produkt: (8 Punkte)

Question

Schreiben Sie als Produkt: (8 Punkte)
a) \( x^{2}-2 a x+a^{2} \)
b) \( 7 a^{2}-63 b^{2} \)

Sind es die 2, und die 3. Binomische Formel?

Comments

Genau. Dahinter verbergen sich einfach die 2. und 3. binomische Formel.

a) x^2 - 2ax + a^2 = (x - a)^2

b) 7a^2 - 63b^2 = 7(a^2 - 9b^2) = 7(a + 3b)(a - 3b)

https://www.matheretter.de/wiki/binomische-formeln

Answer 1

Ja.

b) = 7(a^2-9b^2)

Comments

Vielen dank. das ist sehr nett

Answer 2

b) Schreiben Sie als Produkt  \( x^{2}-2 a x+a^{2} \)

Ich setze den Term =0

\( x^{2}-2 a x+a^{2}=0 \)

\( x^{2}-2 a x=-a^2 \)

\( x^{2}-2 a x+a^2=-a^2+a^2=0 \)

\( (x-a)^2=0 \)

\( (x-a)^2=(x-a)(x-a) \)

Somit ist   \( x^{2}-2 a x+a^{2} =(x-a)(x-a) \)

Hier ist es die 2. Binomische Formel:\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

a) Schreiben Sie als Produkt  \( 7 a^{2}-63 b^{2} \)

\(7\cdot (a^2-9b^2)=7\cdot (a+3b)(a-3b)\)

Hier ist es die 3. Binomische Formel:

\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)

Comments

Somit ist

Woraus schlussfolgerst du das?

Deine Rechnung bei a) ist vollkommen unnötig und ich sehe auch nicht, dass du da irgendetwas zeigst.

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Moliets meint, er habe zu uralten Aufgaben Wesentliches beizutragen. Vermutlich geht es im um eine gute Position in der Liste der Monatsbesten.

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Und jemandem, der die binomischen Formeln hier nicht wiedererkennt, hilft es nicht, auf diese hier mit a und b als Variablen zu verweisen.

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Danke für eure bereichernden Kommentare. Auf alle Fälle zeigen meine Berechnungen mehr als die Antwort von Februar 2024.

Was ist denn nun definitiv unnötig bei a?

Wie zeigst du das dann?

Vielleicht erkennt er die binomischen Formeln jetzt.

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Deine Berechnungen zeigen meiner Ansicht nach gar nichts. Die Aufgabe zielt darauf ab - wie nudger schon sagte - dass man die binomische Formel erkennt und nicht irgendeinen Murks rechnet.

Nach nochmaligen Hinsehen, erkennt man, dass du eine überflüssige quadratische Ergänzung durchführst. In Zeile 3 steht dasselbe wie in Zeile 1. Von Zeile 3 zu 4 bist du dann in der Lage die binomische Formel rückwärts anzuwenden, in Zeile 1 nicht. Witz komm raus.

Vielleicht erkennst du jetzt die Sinnlosigkeit deiner Rechnung.

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Danke für den Hinweis auf meinen Murks. Das ist schon frech!!

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Ich erwarte nun von allen Dreien eine richtige Beantwortung!

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Jammer nicht immer herum wie ein kleines Kind.

Diese Aufgabe erfordert keine Rechnung, außer vielleicht das Ausklammern bei b). Aber das ist dir ja auch gelungen.

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Moliets, hier gibt es nichts zu rechnen. Deine Versuche der Umformerei sind nicht hilfreich und verwirren höchstens.

$$\text{ Die Ausgangsfrage war:} a) x^{2} - 2ax + a^{2} \ \text{ Ist das 2. Binomische Formel? } \\ \text{ Wenn Du helfen willst, dann vielleicht so: } \\ \text{ Ja, es ist 2. Bin. Formel. Diese lautet: }\\ (a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2} \\\text{ In diesem Fall setze in die rechte Seite dieser Formel an Stelle von a ein x ein und für b ein a.} \\ \text{ Damit ergibt sich das gesuchte Produkt: } \\ (x-a)^{2} = x^{2} - 2ax + a^{2}$$

Fertig. Hilf beim Erkennen der Formel, aber nicht durch Rechnen.

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Danke für den wirklich hilfreichen Kommentar:

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Moliets erwartet nun von allen Dreien eine richtige Beantwortung!

Hier meine: 1. Division durch den Koeffizienten von x² (hier 1): x²-2x+1

                 2. Quadrat des halben Koeffizienten von x ist dann die

                     quadratische Ergänzung. Hier \( (\frac{2}{2})^{2} \)=1

                  3. Vergleich mit dem x-freien Glied: Hier 1=1.

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@Jumanji Bevor sich Moliets über Ungleichbehandlung beschwert: Bei einer Aufgabe mit Parametern a,b ist es nicht hilfreich, die bin. Formeln hier mit a und b zu notieren.

@Moliets: Warum sollen wir immer Deine Versuche ausbaden? Wie man solche Aufgaben vernünftig löst und vor allem hilfreich aufschreibst, findest Du an unzähligen Stellen im Internet. Ist ja kein neuer Vorschlag. Aber diese Hilfe willst oder kannst Du anscheinend nicht annehmen.

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Das sehe ich anders. Ich habe bewußt die übliche Formulierung mit a und b genommen, weil genau daraus die einzige typische Hürde beim Verwenden der Binomischen Formel resultiert.

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Eben nicht. Nicht umsonst werden Aufgaben zur binomischen Formel mit sämtlichen Buchstaben gerechnet. Da hat man eben nicht nur Aufgaben der Form \((3a-5b)^2\), sondern auch Aufgaben der Form \((5x+3y)^2\) oder \((2m+4n)(2m-4n)\) und so weiter.

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Ja, exakt deshalb. Wir sagen dasselbe…

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Wir sagen genau das Gegenteil. Für dich ist die Verwendung anderer Buchstaben eine Hürde, weshalb du mit \(a\) und \(b\) arbeitest. Und ich sage, dass das unerheblich ist, weil die Formel eben nicht umsonst mit unterschiedlichen Buchstaben trainiert wird.

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Na ja . Ein Gutes hat ja meine vermurkste Lösung von a).

Ich habe damit einen regen Gedankenaustausch angeregt.

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Kommunikation ist manchmal schwierig.

Rege und komplett überflüssig bei so einem banalen Thema.

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Löst bitte mal folgende Aufgabe auf nachvollziehbare Weise:

Schreiben Sie als Produkt: \(x^2+6ax+a^2\)

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Wir sind hier im Antwort-Modus. Mach dafür eine neue Frage auf.

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Der Bitte Moliets folge ich:

Quadratische Ergänzung: (6a/2)²=9a²

Der dritte Summand heißt a²; also

x²+6ax+9a² - 8a²

umformen zu

(x+3a)² - (\( \sqrt{8} \)a)²

Die dritte binomische Formel führt dann zu

(x+3a-\( \sqrt{8} \)a)·(x+3a+\( \sqrt{8} \)a)

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Danke Dir Roland für deinen Rechenweg!

\(x^2+6ax+a^2\)

Ich setze den Term =0

\(x^2+6ax+a^2=0\)

Nun bringe ich den x- freien Ausdruck auf die rechte Seite:

\(x^2+6ax=-a^2\)   QuadratischeErgänzung:

\(x^2+6ax+(\frac{6a}{2})^2=-a^2+(\frac{6a}{2})^2 \)  1.Binom:

\((x+\frac{6a}{2})^2=8a^2 |±\sqrt{~~} \)

1.)

\(x+3a=a\sqrt{2} \)

\(x_1=-3a+a\sqrt{2} \)

2.)

\(x_2=-3a -a\sqrt{2} \)

\(x^2+6ax+a^2\\=[x-(-3a+a\sqrt{2})][x-(-3a -a\sqrt{2})]\\=[x+3a-a\sqrt{2}][x+3a +a\sqrt{2}]\)

Jetzt sieht man, dass ich den gleichen Weg bei der obigen Aufgabe gegangen bin:

\(x^2−2ax+a^2=0\)

\( x^{2}-2 a x=-a^2 \)

\( x^{2}-2 a x+a^2=-a^2+a^2=0 \)

Erst ab dieser Zeile kann dann  \( (x-a)^2=0 \)  geschrieben werden.

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Ja, nur in überflüssiger Weise.

Wenn kein Binom vorliegt, muß man eben beim Typ I und II mir der von Dir geliebten quadratischen Ergänzung arbeiten.

Dazu muß man, wie Roland gezeigt hat, aber nicht mit der Wurzel arbeiten (neue Komplikation) sondern kann dazu direkt die Dritte Binomische Formel verwenden.

Wenn jedoch schon ein Binom vorliegt, wie in der Aufgabe, kann man das Ergebnis sofort hinschreiben.

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Lass gut sein @Jumanji. Er hat einfach nicht verstanden, dass seine Rechnung rein gar nichts gezeigt hat. Warum, habe ich in einem Kommentar weiter oben bereits erläutert:

Nach nochmaligen Hinsehen, erkennt man, dass du eine überflüssige quadratische Ergänzung durchführst. In Zeile 3 steht dasselbe wie in Zeile 1. Von Zeile 3 zu 4 bist du dann in der Lage die binomische Formel rückwärts anzuwenden, in Zeile 1 nicht. Witz komm raus.

Wenn man das nicht versteht oder verstehen will, ist jede weitere Hilfe doch vergeblich. Er ist ja von der Notwendigkeit seiner Rechnung überzeugt (siehe Zitat unten).

Dass er dann natürlich wieder mit einem "Gegenbeispiel" kommt, was nicht im Sinne der Aufgabenstellung ist, ist auch nichts Neues.

Erst ab dieser Zeile kann dann  \( (x-a)^2=0 \)  geschrieben werden.

Dass er dann zusätzlich so etwas Unnötiges schreibt, zeigt, wie viel Unverständnis hier vorliegen muss. Die Frage, die ich mir stelle ist, warum man das erst ab dieser Zeile kann und nicht schon zwei Zeilen vorher, wo doch genau dieselbe Gleichung steht...

Krampfhaft also überall die quadratische Ergänzung anzuwenden, ist also alles andere als zielführend.

Man sollte zukünftig

\(1+1=\sin^2(x)+\cos^2(x)+\sin^2(x)+\cos^2(x)\)

\(=2\sin^2(x)+2\cos^2(x)=2(\sin^2(x)+2\cos^2(x))=2\cdot 1=2\)

rechnen, denn wir wissen ja vorher nicht, ob \(1+1=2\) gilt. Wir wissen aber selbstverständlich, dass der trigonometrische Pythagoras gilt. Also sollten wir ihn hier anwenden. Es gibt sicherlich auch einen Rechenweg mit quadratischer Ergänzung. ;)

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Hallo Moliets,

\( x^{2}-2 a x+a^{2} \\=(x-a)^2\\=(x-a)(x-a) \)

Fertig.