Gruppe Kommutativität zeigen

Question

Sei G = R\ {1}; fur ¨ x, y ∈ G definieren wir x∗y := 1/2(x+y−xy+ 1). Zeigen Sie, dass (G, ∗) eine

kommutative Gruppe ist; geben Sie insbesondere das neutrale Element e und zu jedem x ∈ G
das zugehörige inverse Element x0 an.

Ich brauche eig. nur Hilfe beim Assoziativgesetz (x∗y)∗z= 1/2(x+y−xy+ 1)∗z... wie geht es hier nun weiter

Answer 1

a∗z := 1/2(a+z−az+ 1)

Dein a ist hier das (x*y), welches x∗y = 1/2(x+y−xy+ 1) ist.

(x∗y)∗z ist also 1/2(1/2(x+y−xy+ 1)+z−1/2(x+y−xy+ 1)z+ 1).

Bilde entsprechend auch

x(y*z) =   1/2(x+1/2(y+z−yz+ 1)−x1/2(y+z−yz+ 1)+ 1)

und zeige, dass beide Terme gleich sind.

Comments

1/2(1/2(x+y−xy+ 1)+z−1/2(x+y−xy+ 1)z+ 1).

in der musterlösung wurde genauso gerechnet nur hatte ich keine ahnung wie man darauf gekommen ist. hab es jetzt verstanden

danke

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hab noch eine kurze frage

beim nachweis neutr element hab ich so gerechnet:

x∗e=x

x+e-xe+1=2x

e-xe+1-x=0

e(1-x)+(1-x)=0

aber wie kann ich nun weitermachen? Kann ich das iwie zu einem produkt umwandeln, für satz vom nullprodukt, wenn ja wie

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(1-x) ausklammern:

(e+1)(1-x)=0

Wegen

Sei G = R\ {1};

kann die zweite Klammer nicht 0 werden, also gilt e= -1.

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danke dir eig ganz simpel bin aber iwie nicht drauf gekommen

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Nach deinem ursprünglichen

Ich brauche eig. nur Hilfe beim Assoziativgesetz

waren nun wohl die übrigen Teilfragen auch nicht ganz klar. Auf das inverse Element kommt man ja eigentlich erst, nachdem man (jetzt) das neutrale Element kennt.

Bevor du auch noch nach dem Inversen fragst: Das findest du in der Antwort von Tschakabumba.

Answer 2

Aloha :)

Die Verknüpfung \(\ast\) ist über \(G=\mathbb R\setminus\{1\}\) definiert:$$x\ast y=\frac{x+y-xy+1}{2}=\frac{2-(xy-x-y+1)}{2}=1-\frac{(x-1)(y-1)}{2}$$

Wir prüfen, ob \((G,\ast)\) eine kommutative Gruppe ist.

1) Assoziativität:

Seien \(x,y,z\in\mathbb G\), dann gilt:$$(\pink{x\ast y})\ast z=1-\frac{\left((\pink{x\ast y})-1\right)(z-1)}{2}=1-\frac{\left(\left(\pink{1-\frac{(x-1)(y-1)}{2}}\right)-1\right)(z-1)}{2}$$$$\phantom{(\pink{x\ast y})\ast z}=1-\frac{\left(-\frac{(x-1)(y-1)}{2}\right)(z-1)}{2}=1-\frac{(x-1)\left(-\frac{(y-1)(z-1)}{2}\right)}{2}$$$$\phantom{(\pink{x\ast y})\ast z}=1-\frac{(x-1)\left({\color{blue}\left(1-\frac{(y-1)(z-1)}{2}\right)}-1\right)}{2}=1-\frac{(x-1)(({\color{blue}y\ast z})-1)}{2}$$$$\phantom{(\pink{x\ast y})\ast z}=x\ast({\color{blue}y\ast z})\quad\checkmark$$

2) Kommutativität:

Die Kommutativität ist sofort klar, weil wir \(x\) und \(y\) im Zähler vertauschen können:$$x\ast y=1-\frac{(x-1)(y-1)}{2}=1-\frac{(y-1)(x-1)}{2}=y\ast x\quad\checkmark$$

3) Existenz eines links-neutralen Elementes:

Ein links-neutrales Element \(e\) darf den Wert des anderen Operanden nicht ändern:$$x\stackrel!=e\ast x=1-\frac{(e-1)(x-1)}{2}=1+(x-1)\cdot\underbrace{\frac{1-e}{2}}_{\stackrel!=1}\implies e=-1$$Ein links-neutrales Element der Gruppe ist daher \((e=-1)\).

Bemerkung:

Es reicht zu zeigen, dass es ein links-neutrales Element \(e\) gibt \((e\ast x=x)\).

Die Gruppenaxiome garantieren dann, die Eindeutigkeit und die Rechts-Neutralität.

Das gilt auch für nicht-kommutative Gruppen.

4) Exisitenz eines links-inversen Elementes:

Für ein links-inverses Element \(x_0\) zu \(x\) muss gelten:$$x_0\ast x=e\implies 1-\frac{(x_0-1)(x-1)}{2}=-1\implies(x_0-1)(x-1)=4\implies$$$$x_0=1+\frac{4}{x-1}=\frac{x+3}{x-1}$$

Für jedes \(x\in G\) gibt es also ein links-inverses Element \(x_0=\frac{x+3}{x-1}\in G\).

Bemerkung 1:

Beim inversen Elment wird klar, warum die \(1\) nicht in \(G\) enthalten sein darf.

Bemerkung 2:

Es reicht zu zeigen, dass es ein links-inverses Element \(x_0\) gibt \((x_0\ast x=x)\).

Die Gruppenaxiome garantieren dann, die Eindeutigkeit und die Rechts-Inversität.

Das gilt auch für nicht-kommutative Gruppen.

Comments

wow danke für die antwort.

kann iwie leider kein daumen hoch geben für deine antwort.. den hättest du dir eig. verdient