Beweis für Körperaxiome Kommutativität und inverses Element

Question

Ich habe folgende Gleichung, für die ich die Körperaxiome zeigen soll, hänge aber etwas bei Kommutativität und dem Inversen:

\( A \bigoplus B:=A+B-1 \)

Der Ansatz, den ich hierbei verfolgen würde ist:

\( a \bigoplus b=b \bigoplus a \Rightarrow a+b-1=b+a-1 \)

Nur wie mach ich hier jetzt weiter?

Für das inverse fehlt mir leider grad jeder Ansatz, deswegen wäre es nett, wenn mich da jemand mal auf die richtige Spur bringen könnte.

Answer 1

Es fehlen hier einige Angaben.

Was ist die zugrundeliegende Menge? Sprich wo leben a und b?

Was ist +? Welche Eigenschaften hat +?


Das ist wichtig, denn die Eigenschaften deiner Verknüpfung folgen aus denen von +.


Und für Gleichungen kann man keine Körperaxiome zeigen, eine Gleichung kann kein Körper sein.

Comments

Die zugrunde liegende Menge ist Q, sprich die rationalen Zahlen.

Zu zeigen ist, dass:

\( \varrho(\bigoplus, \odot) \) mit \( a \bigoplus b:=a+b-1 \) und \( a \bigodot b:=a b-a-b+2 \)

ein Körper ist.

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Dann wirst du in deinem Beweis an einigen Stellen benutzen, dass $$\mathbb Q(+,\cdot)$$ ein Körper ist.

Die Kommutativität folgt aus der von +.

Zur Bestimmung des Inversen: Definierende Gleichung hinschreiben und nach der Gesuchten  auflosen.