Aloha :)
Die Verknüpfung ∗ ist über G=R∖{1} definiert:x∗y=2x+y−xy+1=22−(xy−x−y+1)=1−2(x−1)(y−1)
Wir prüfen, ob (G,∗) eine kommutative Gruppe ist.
1) Assoziativität:
Seien x,y,z∈G, dann gilt:(x∗y)∗z=1−2((x∗y)−1)(z−1)=1−2((1−2(x−1)(y−1))−1)(z−1)(x∗y)∗z=1−2(−2(x−1)(y−1))(z−1)=1−2(x−1)(−2(y−1)(z−1))(x∗y)∗z=1−2(x−1)((1−2(y−1)(z−1))−1)=1−2(x−1)((y∗z)−1)(x∗y)∗z=x∗(y∗z)✓
2) Kommutativität:
Die Kommutativität ist sofort klar, weil wir x und y im Zähler vertauschen können:x∗y=1−2(x−1)(y−1)=1−2(y−1)(x−1)=y∗x✓
3) Existenz eines links-neutralen Elementes:
Ein links-neutrales Element e darf den Wert des anderen Operanden nicht ändern:x=!e∗x=1−2(e−1)(x−1)=1+(x−1)⋅=!121−e⟹e=−1Ein links-neutrales Element der Gruppe ist daher (e=−1).
Bemerkung:
Es reicht zu zeigen, dass es ein links-neutrales Element e gibt (e∗x=x).
Die Gruppenaxiome garantieren dann, die Eindeutigkeit und die Rechts-Neutralität.
Das gilt auch für nicht-kommutative Gruppen.
4) Exisitenz eines links-inversen Elementes:
Für ein links-inverses Element x0 zu x muss gelten:x0∗x=e⟹1−2(x0−1)(x−1)=−1⟹(x0−1)(x−1)=4⟹x0=1+x−14=x−1x+3
Für jedes x∈G gibt es also ein links-inverses Element x0=x−1x+3∈G.
Bemerkung 1:
Beim inversen Elment wird klar, warum die 1 nicht in G enthalten sein darf.
Bemerkung 2:
Es reicht zu zeigen, dass es ein links-inverses Element x0 gibt (x0∗x=x).
Die Gruppenaxiome garantieren dann, die Eindeutigkeit und die Rechts-Inversität.
Das gilt auch für nicht-kommutative Gruppen.