Berechnen Sie diese Norm für das Polynom f(x)=\frac{x^{2}+3}{2} .

Question

(b) Für den Vektorraum der auf dem Intervall \( [-1,1] \) stetigen (reellwertigen) Funktionen \( C[-1,1] \) ist die Norm definiert durch
\( \|f\|_{2}:=\left(\int \limits_{-1}^{1}(f(x))^{2} d x\right)^{\frac{1}{2}} \)


Berechnen Sie diese Norm für das Polynom \( f(x)=\frac{x^{2}+3}{2} \).

Leider habe ich da eine falsche Lösung heraus.

1/4(2/5 + 4 +18)^(1/2)

Comments

Ich habe da die Wurzel aus 112/20 raus

Answer 1

\( \|\frac{x^{2}+3}{2}\|_{2}=\left(\int \limits_{-1}^{1}(\frac{x^{2}+3}{2})^{2} d x\right)^{\frac{1}{2}} \)

Also erstmal das Integral ausrechnen

\( \int \limits_{-1}^{1}(\frac{x^{2}+3}{2})^{2} d x=\frac{1}{4}\int \limits_{-1}^{1}(x^{2}+3)^{2} dx =\frac{1}{4}\int \limits_{-1}^{1}(x^{4}+6x^2 +9) dx \)

\(  =    \frac{1}{4} [\frac{1}{5}x^5 + 2x^3 +9x]_{-1}^1 =   \frac{1}{4} ( \frac{1}{5} + 2 +9-(-\frac{1}{5}-2-9)) \)

\( =   \frac{1}{4} \cdot \frac{112}{5} = \frac{28}{5}\)

Also \( \|\frac{x^{2}+3}{2}\|_{2} =\sqrt{\frac{28}{5}} \)

Comments

Oh, dann ist meine Lösung ja richtig. Weil 112/20 ist ja dasselbe wie 28/5. Danke

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Ja, das passt !