Berechnen Sie diese Norm für das Polynom f(x)=\frac{x2+3}{2} .

Question

(b) Für den Vektorraum der auf dem Intervall $[-1,1]$ stetigen (reellwertigen) Funktionen $C[-1,1]$ ist die Norm definiert durch
$\|f\|_{2}:=\left(\int \limits_{-1}^{1}(f(x))^{2} d x\right)^{\frac{1}{2}}$


Berechnen Sie diese Norm für das Polynom $f(x)=\frac{x^{2}+3}{2}$.

Leider habe ich da eine falsche Lösung heraus.

1/4(2/5 + 4 +18)^(1/2)

Comments

Ich habe da die Wurzel aus 112/20 raus

Answer 1

$\|\frac{x^{2}+3}{2}\|_{2}=\left(\int \limits_{-1}^{1}(\frac{x^{2}+3}{2})^{2} d x\right)^{\frac{1}{2}}$

Also erstmal das Integral ausrechnen

$\int \limits_{-1}^{1}(\frac{x^{2}+3}{2})^{2} d x=\frac{1}{4}\int \limits_{-1}^{1}(x^{2}+3)^{2} dx =\frac{1}{4}\int \limits_{-1}^{1}(x^{4}+6x^2 +9) dx$

$= \frac{1}{4} [\frac{1}{5}x^5 + 2x^3 +9x]_{-1}^1 = \frac{1}{4} ( \frac{1}{5} + 2 +9-(-\frac{1}{5}-2-9))$

$= \frac{1}{4} \cdot \frac{112}{5} = \frac{28}{5}$

Also $\|\frac{x^{2}+3}{2}\|_{2} =\sqrt{\frac{28}{5}}$

Comments

Oh, dann ist meine Lösung ja richtig. Weil 112/20 ist ja dasselbe wie 28/5. Danke

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Ja, das passt !