Differenzenquotienten in Intervallen bestimmen (durchschnittliche Änderungsraten)

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Funktionen \( f(x)=0.5 x^{2} \) und \( g(x)=3 x^{3}+1 . \) Bestimmen Sie für beide Funktionen jeweils die Differenzenquotienten (d.h. die durchschnittlichen Steigungen/Änderungsraten) für die folgenden Intervalle:

a) zwischen \( x=0 \) und \( x=2 \)

b) zwischen \( x=-1 \) und \( x=1 \)

Answer 1

Die Steigung m in einem Punkt ist

m = Δy / Δx = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) = (f(x₂) - f(x₁)) / (x₂ - x₁)

x2 im Intervall [0;2] wäre 2, x1 wäre 0. Also wäre m = (f(2) - f(0)) / 2-0

Wenn du f(2) und f(0) noch ausrechnest und einsetzt, erhältst du die Steigung m.

f(2) = 0,5*2^2 = 2

f(0) = 0,5*0^2 = 0

-> m = (f(2) - f(0)) / 2-0 = (2 - 0) / (2 - 0) = 2/2 = 1

Der Differenzenquotient im Intervall [0;2] ist also 1. Bei der anderen Funktion und den anderen Intervallen kannst du genauso vorgehen.

Answer 2

f(x) = 0.5·x^2

m[0 ; 2] = (f(2) - f(0))/(2 - 0) = 1

m[-1 ; 3] = (f(3) - f(-1))/(3 - (-1)) = 1

m[-1 ; 1] = (f(1) - f(-1))/(1 - (-1)) = 0

m[-2 ; -1] = (f(-1) - f(-2))/(-1 - (-2)) = -1.5

g(x) = 3·x^3  + 1

m[0 ; 2] = (g(2) - g(0))/(2 - 0) = 12

m[-1 ; 3] = (g(3) - g(-1))/(3 - (-1)) = 21

m[-1 ; 1] = (g(1) - g(-1))/(1 - (-1)) = 3

m[-2 ; -1] = (g(-1) - g(-2))/(-1 - (-2)) = 21