Aloha :)
Der Differenzenquotient zwischen \(x_0=3\) und \(x_1=6\) lautet:
$$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}=\frac{f(6)-f(3)}{6-3}=\frac{\left(-\frac62-1\right)-\left(\frac32-1\right)}{3}=\frac{-\frac32}{3}=-\frac12$$
Den Differentialquotienten berechnest du nicht zwischen zwei Punkten, sondern an einem Punkt \(x_0\). Dazu wählst du eine weitere Stelle \(x\), bildest den Differenzenquotienten und lässt dann das gewählte \(x\) auf das \(x_0\) zulaufen, indem du den Grenzwert bildest:$$\frac{df}{dx}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$Da du den Differentialquotienten an drei verschiedenen Stellen bestimmen sollst, lohnt es sich, die Rechnung zuerst allgemein für die Stelle \(x_0\) durchzuführen. Wir setzen also die Funktionsgleichung ein:$$\frac{df}{dx}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{\left(-\frac x2-1\right)-\left(-\frac{x_0}{2}-1\right)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{-\frac{x}{2}+\frac{x_0}{2}}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{-\frac12\cdot\cancel{\left(x-x_0\right)}}{\cancel{x-x_0}}=-\frac12$$Der Differentialqotient ist also unabhängig von der Stelle \(x_0\), er ist an allen Stellen gleich \(-\frac12\). Nichts anderes hatten wir bei einer Geraden erwartet ;)
