Question

Was ist der Unterschied zwischen Differentialquotient und Differenzenquotient?

Kann ich mir das so merken das ich bei der Differenzenquotienten die durchschnittliche Steigung in eine bestimmten Intervall berechne da brauche ich keinen Limes da habe ich eine Sekante die durch zwei punkte der Funktion geht

Und bei dem anderen suche ist die Steigung bei einem bestimmten Punkt z. B. x₀ = 4 da brauche ich dann den Limes da habe hab ich aber nur eine Schnittpunkt und zwar die Tangete.

Kann man sich das so merken?

Comments

https://simpleclub.com/lessons/mathematik-differenzenquotient-differentialquotient

https://www.mathelounge.de/786697/unterschied-differenzenquotient-differenzialquotient

Answer 1

Der Differenzenquotient ist ein Quotient, der aus Differenzen besteht. Der Differentialquotient nicht.

Als Merkhilfe erweist es sich häufig als nützlich, sich klarzumachen, warum die Dinge so heißen, wie sie heißen.

Comments

Beim Differenzialquotienten, brauch ich da fast immer die 3. Binomische Formel um was weg zu kürzen?

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Beim Differenzialquotienten, ...

Bei dem gerade nicht. Beherzige unbedingt Apfelmännchens Tipp, um Deine Unsicherheit loszuwerden.

Und kürzen kann man manchmal (nicht beim Differenzialquotienten), aber nicht immer.

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Kannst du dir mal bitte diese Aufgabe anschauen, da soll ich für die Funktion f(x) = 2x^2 die Steigung an der Stelle 3 bestimmen.

Da brauche ich ja den Differenzialquotient da habe ich gekürzt und die 3. Bio Formel verwendet.

Bei dem gerade nicht.

Und kürzen kann man manchmal (nicht beim Differenzialquotienten), aber nicht immer.

Oder bin ich total falsch, weil das ist ja ein Differnzialquotient und ich habe ja gekürzt?

Text erkannt:

\( f(x)=2 x^{2} \)
Steigring an der Stelle 31 Tongente 1 Difternzol, poutie
\( \begin{array}{l} m_{T}=\lim \limits_{x \rightarrow 3} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x}-x_{0} \\ m_{T}=\lim \limits_{x \rightarrow 3} \frac{2 x^{2}-2 \cdot 3^{2}}{x}-3 \\ m_{T}=\lim \limits_{x \rightarrow 3}=\frac{2 x^{2}-18}{x}-3 \\ m_{T}=\lim \limits_{x \rightarrow 3}=\frac{2 \cdot\left(x^{2}-9\right)}{x-3} \\ m_{T}=\lim \limits_{x \rightarrow 3}=\frac{2 \cdot(x-3) \cdot(x+3)}{x+3} \\ m_{T}=\lim \limits_{x \rightarrow 3}=2 \cdot(x+3) \\ m_{T}=\lim \limits_{x \rightarrow 3}=2 \cdot(3+3) \\ m_{T}=\lim \limits_{x \rightarrow 3}=12 \text { Binomische } \end{array} \)

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Von der Berechnung her in Ordnung, von der Formalität eher weniger. Man kann den Term auch ohne den Limes umformen und dann am Ende erst den Grenzübergang machen. Man schreibt aber nicht \(m_T=\lim = \ldots\), sondern \(m_T=\lim ( ... ) = 12\).

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Also schreibe ich lim erst hin wenn ich die Zahl einsetzen tue, also hier ein Schritt vor dem Ergebnis?

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Das ist besser ja. Streng mathematisch funktionieren die Umformungen nur, wenn man weiß, dass der Grenzwert auch existiert. Außerdem spart man sich eine Menge Schreibarbeit. :)

Answer 2

Aloha :)

Du liegst richtig. Der Unterschied zwischen beiden ist die Grenzwertbildung:

Der Differenzenquotient$$m=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$gibt die mittlere Steigung \(m\) zwischen den Punkten \((x|f(x))\) und \((x_0|f(x_0)\) an.

Das ist die Steigung der Sekante durch diese beiden Punkte.

Beim Differentialquotient$$f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$bildet man den Grenzwert \(x\to x_0\) und lässt damit die Stelle \(x\) immer näher an die Stelle \(x_0\) heranrücken. Aus der Sekante wird dadurch eine Tangente, die den Graphen der Funktion nur noch in einem einzigen Punkte \(x_0\) berührt. Du erhältst dadurch die Steigung der Tangente an die Funktion im Punkt \((x_0|f(x_0))\).

Comments

Aus der Sekante wird dadurch eine Tangente, die den Graphen der Funktion nur noch in einem einzigen Punkte \(x_0\) berührt.

Die Tangente kann den Graphen auch noch in anderen Punkten berühren.