Steigungsberechnung, Differentialquotient, Ableitung.

Question

1. Bestimmen Sie die Ableitung an der Stelle x0

      f(x)=1/2x²  D=R\{0} x0=3/2

2.Bestimmen sie die Ableitungsfunktion und die Ddefinitionsmenge

     f(x)=2x²-x D=R

Comments

Über eine ausführlich Antwort wäre ich sehr dankbar. LG Thommy093

---

erstens heißt es sicher
1 / ( 2*x^2 ) ( Klammerung vergessen )
zweitens : sollst du mit der delta-h methode
die Ableitung bestimmen
oder genügt die Ableitung über die
verkürzte Quotientenregel
f ( x ) = 1 / ( 2x^2 )
f ´( x ) = - 4x / ( 4x^4 ) = -1 / x^3

---

Wir sollen dies, über die delta-h methode machen.

Lg Thommy093

Answer 1

Das kann entweder mit dem Differentialquotient oder mit der Ableitungsregel bestimmt werden.

Lösung mit Differentialquotient: $$f'\left(\frac{3}{2}\right)=\lim_{x\rightarrow \frac{3}{2}}\frac{f(x)-f\left(\frac{3}{2}\right)}{x-\frac{3}{2}}=\lim_{x\rightarrow \frac{3}{2}}\frac{\frac{1}{2x^2}-\frac{1}{2\cdot \left(\frac{3}{2}\right)^2}}{x-\frac{3}{2}} \\ =\lim_{x\rightarrow \frac{3}{2}}\frac{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{ \left(\frac{3}{2}\right)^2}\right)}{x-\frac{3}{2}}  =\lim_{x\rightarrow \frac{3}{2}}{\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{ \left(\frac{3}{2}\right)^2}\right)}\cdot \frac{1}{x-\frac{3}{2}} \\ =\lim_{x\rightarrow \frac{3}{2}}\frac{1}{2}\cdot \frac{ \left(\frac{3}{2}\right)^2-x^2}{x^2\cdot \left( \frac{3}{2}\right)^2}\cdot \frac{1}{x-\frac{3}{2}} =\lim_{x\rightarrow \frac{3}{2}}\frac{1}{2}\cdot \frac{\left(\frac{3}{2}-x\right)\cdot \left(\frac{3}{2}+x\right)}{x^2\cdot \frac{9}{4}}\cdot \frac{1}{x-\frac{3}{2}} \\ =\lim_{x\rightarrow \frac{3}{2}}\frac{1}{2}\cdot \frac{-\left(x-\frac{3}{2}\right)\cdot \left(\frac{3}{2}+x\right)}{x^2\cdot \frac{9}{4}}\cdot \frac{1}{x-\frac{3}{2}} =\lim_{x\rightarrow \frac{3}{2}}\frac{-\left(\frac{3}{2}+x\right)}{x^2\cdot \frac{9}{2}} \\ =\lim_{x\rightarrow \frac{3}{2}}\frac{2}{9}\cdot \frac{-\left(\frac{3}{2}+x\right)}{x^2}=\frac{2}{9}\cdot \frac{-\left(\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\right)}{\frac{9}{4}}=-\frac{2}{9}\cdot \frac{4}{9}\cdot 3 \\ =-\frac{2}{9}\cdot \frac{4}{3}  =-\frac{8}{27}$$

Lösung mit Ableitungsregel:

$$f'(x)=\left(\frac{1}{2x^2}\right)'=\left(\frac{1}{2}x^{-2}\right)=\frac{1}{2}\cdot (-2)x^{-3}=-\frac{1}{x^3} \rightarrow f'\left(\frac{3}{2}\right)=-\frac{1}{\left(\frac{3}{2}\right)^3}  \\ =-\frac{1}{\frac{27}{8}}  =-\frac{8}{27}$$

Comments

Danke, aber habe mich bei der ersten Aufgaben vertippt.

müsste  f(x)=1/(2x²)  D=R\{0} x0=3/2 heißen.

Lg. Thommy093

---

Achso, ok! Habe meine Antwort bearbeitet! 

Answer 2

Hier die Ableitung für die 2.Aufgabe