Abstand eines Punktes zu einer Ebene über das Lotfußpunktverfahren.

Question

Aufgabe

Text erkannt:

Let the plane
\( E:=\left\{\left[\begin{array}{c} -6 \\ 2 \\ -9 \end{array}\right]+\lambda \cdot\left[\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ -3 \end{array}\right]+\mu \cdot\left[\begin{array}{c} -3 \\ 7 \\ 12 \end{array}\right]: \lambda, \mu \in \mathbb{R}\right\} \)
and the point \( \mathbf{q}:=\left[\begin{array}{c}3 \\ -10 \\ -37\end{array}\right] \) be given. Determine the distance between \( E \) and \( \mathbf{q} \)

Answer:

Problem/Ansatz:

Ich versuche gerade mit dem Lotfußverfahren das auszurechnen. Zuerst habe ich den Normalvektor ausgerechnet n = <-3,-3,1>. Anschließend eine Hilfsgerade: h : x = <3, -10, -37> +t*<-3, -3, 1> . Nun möchte ich nach t, r uns s auflösen um t in die Hilfsgerade einzusetzen und anschließend die Länge des neuen Vektor auszurechnen.Ich bekomme ganz komische Werte für s, r ,t . Der Online Rechner sagt t wäre -3. Das Eingesetzt und ausgerechnet wäre 78 LE ist das richtig? Wenn ja wäre jemand so lieb mir zu zeigen wie r, s ausgerechnet wurde. Bei mir kommt nie -3 raus.

(ich habe die Paramter zu r uns s gemacht)

Comments

Länge eines Punktes und einer Ebene mit Lotfßverfahren

So ein Punkt ist überhaupt nicht lang. Eine Ebene aber umso mehr.

Answer 1

Normalenvektor

[1, -2, -3] ⨯ [-3, 7, 12] = - [3, 3, -1]

Bestimmungsgleichung

[-6, 2, -9] + r·[1, -2, -3] + s·[-3, 7, 12] = [3, -10, -37] + t·[3, 3, -1] --> r = -3 ∧ s = -3 ∧ t = -1

Lotfußpunkt

F = [3, -10, -37] - 1·[3, 3, -1] = [0, -13, -36]

Abstand

d = |[3, 3, -1]| = √19 = 4.359 LE