Aloha :)
Was heißt denn hier "natürlich nicht richtig"? So falsch ist dein Ergebnis nämlich gar nicht. Du bist den Weg nur nicht zu Ende gegangen. Die Kettenregel besagt ja "äußere Ableitung mal innere Abeltung". Die äußere Ableitung hast du, und die ist richtig.
Es fehlt noch die Multiplikation mit der inneren Ableitung. Hier gibt es allerdings sogar 2 innere Funktion, sodass wir auch mit 2 inneren Ableitungen multiplizieren müssen. Die inneren Funktionen markiere ich farblich.$$f(x)=\sqrt{\pink{a+3\sin({\color{blue} cx+6})}}=\left(\pink{a+3\sin({\color{blue} cx+6})}\right)^{\frac12}$$
Die Ableitung führen wir ausführlich in Einzelschritten durch, damit das Prinzip klarer wird:$$f'(x)=\underbrace{\frac12\left(\pink{a+3\sin({\color{blue} cx+6})}\right)^{-\frac12}}_{\text{äüßere Abl.}}\cdot\underbrace{\left(\pink{a+3\sin({\color{blue} cx+6})}\right)'}_{\text{innere Abl. 1}}$$Wir rechnen die innere Ableitung 1 aus:$$f'(x)=\underbrace{\frac12\left(\pink{a+3\sin({\color{blue} cx+6})}\right)^{-\frac12}}_{\text{äüßere Abl.}}\cdot\underbrace{\left(\pink{3\cos({\color{blue} cx+6})}\right)}_{\text{innere Abl. 1}}\cdot\underbrace{({\color{blue} cx+6})'}_{\text{innere Abl. 2}}$$Wir rechnen die innere Ableitung 2 aus:$$f'(x)=\underbrace{\frac12\left(\pink{a+3\sin({\color{blue} cx+6})}\right)^{-\frac12}}_{\text{äüßere Abl.}}\cdot\underbrace{\left(\pink{3\cos({\color{blue} cx+6})}\right)}_{\text{innere Abl. 1}}\cdot\underbrace{{\color{blue}c}}_{\text{innere Abl. 2}}$$
Schließlich schreiben wir die äußere Ableitung noch so, wie du sie angegeben hast und schreiben die beiden inneren Ableitungen in den Zähler:$$f'(x)=\frac{\pink{3{\color{blue}c}\cos({\color{blue} cx+6})}}{2\sqrt{\pink{a+3\sin({\color{blue} cx+6})}}}$$
