Elliptisches Integral von √(3sin(t)^2 + 1) dt von 0 bis π/2

Question

Ich soll das Integral

\( \int \limits_{0}^{\pi / 2} \sqrt{3 \cdot \sin (t)^{2}+1} d t \)

in der Form

\( E(b), b \in \mathbb{R} \)

angeben, wobei

\( E(k):=\int \limits_{0}^{\pi / 2} \sqrt{1-k^{2} \cdot \sin (x)^2} ~ dx \)

als das elliptische Integral definiert ist.

Mein Problem ist, dass wenn ich

\( \sqrt{3 \cdot \sin (t)^{2}+1}=\sqrt{1-k^{2} \cdot \sin (t)} \)

gleichsetze, komme ich auf \( k^{2}=-3 \), was ja wegen \( b \in \mathbb{R} \) nicht richtig sein kann. WolframAlpha zeigt mir aber immer \( b=-3 \) als Lösung an.

Ich frage mich, wo mein Denkfehler liegt und bin dankbar für jede Hilfe.

Comments

Es müsste k²·sin(x)² heißen...

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Wenn du im Integranden zu Beginn ein + hast, ist mir auch nicht klar, wie du daraus ein  - machen kannst.

k^2 muss da tatsächlich zu k^2 = -3 werden. D.h. k + ± √3 * i

Nebenbemerkungen:

1. Ein plus passt nicht zu einer Ellipse. Graph deines Integranden:

2. es ist schon der Sinus im Quadrat gemeint und nicht einfach das x . Oder?

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Genau, also zunächst musste manzeigen, was ja einfach durch Substitution zu machen ist. Nun sollte man das Integral ∫√(3 sin²(t)+1) von 0 bis pi/2 in der Form E(b) angeben.

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Aha. Dann bringt dir vermutlich folgende Umformung nichts, da aus sin ein cos wird:

∫√(3 sin²(t)+1) dt

= ∫√(3 - 3 cos²(t)+1) dt

= ∫√(4 - 3 cos²(t))  dt

= 2 ∫√(1 - 3/4 cos²(t)) dt

von 0 bis pi/2 in der Form E(b) angeben.