Bestimmen Sie die Ableitung vonf(x)= \frac{6x+3}{(4x-1}^3 .

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Ableitung vonf(x)= \( \frac{6x+3}{(4x-1)^3} \) .
Nutzen Sie zur Ableitung des Nenners die Kettenregel und kürzen Sie anschließend.
Geben sie die abgeleitete Funktion in der Form Zähler /  Nenner ein.

Problem/Ansatz:

Ich komme auf f'(x) = -6(24x^2-16x+1) / (4x-1)^4

leider falsch. ein ableitungsrechner kommt auf das selbe Ergebnis (lediglich ohne das ausklammern der 6)

wo ist mein Fehler?

Answer 1

Aloha :)$$f(x)=\frac{\overbrace{6x+3}^{=u}}{\underbrace{(4x-1)^3}_{=v}}$$$$f'(x)=\frac{\overbrace{6}^{=u'}\cdot\overbrace{(4x-1)^3}^{=v}-\overbrace{(6x+3)}^{=u}\cdot\overbrace{\overbrace{3(4x-1)^2}^{\text{äußere Abl.}}\cdot\overbrace{4}^{\text{innere Abl.}}}^{=v'}}{\underbrace{(4x-1)^6}_{=v^2}}$$$$\phantom{f'(x)}=\frac{6(4x-1)-12(6x+3)}{(4x-1)^4}=-\frac{48x+42}{(4x-1)^4}=-\frac{6(8x+7)}{(4x-1)^4}$$

Answer 2

Zu deiner Frage:

wo ist mein Fehler?

Damit wir sagen können, wo du einen Fehler gemacht hast, solltest du deine Rechnung mit hochladen.

Nun zur Ableitung:

Wie du gerade selbst erlebt hast, ist das Ableiten solcher Funktionen fehleranfällig. Deshalb ist es oft von Vorteil, nicht gleich loszurechnen, sondern erst einmal zu schauen, ob man den Funktionsterm so umformen kann, dass das Ableiten einfacher wird. In deinem Fall ist das möglich:

\( \frac{6x+3}{(4x-1)^3} = 3\frac{2x+1}{(4x-1)^3} = \frac 32\cdot \frac{(4x-1) + 3}{(4x-1)^3}=\frac 32\left( \frac{1}{(4x-1)^2} + \frac{3}{(4x-1)^3} \right)\)

Jetzt ist das Ableiten Pippifax und du benötigst nicht die manchmal lästige Quotientenregel:

\(f'(x) = \frac 32\left( \frac{-2\cdot 4}{(4x-1)^3} + \frac{3\cdot (-3)\cdot 4}{(4x-1)^4} \right) = \frac{-12(4x-1) -54}{(4x-1)^4} = \frac{-48x-42}{(4x-1)^4}\)

Answer 3

u= 6x+3 . u' =6

v= (4x-1)^3 , v' = 3*(4x-1)^2*4 = 12(4x-1)^2

->  ( 6*(4x-1)^3 - (6x+3)*12(4x-1)^2)/ (4x-1)^6

kürzen mit (4x-1)^2:

(6(4x-1)- 12(6x+3))/(4x-1)^4 = (24x-6-72x-36)/N = (-48x-42)/N =  - 6(8x+7)/ (4x-1)^4