Ableitung - wie kommt man auf dieses Ergebnis f'(x) = 8/((x-1)^3)? Ich habe (8x-8)/(x^4-4x^3+6x^2-4x+1)

Question

 

ich versuche jetzt schon seit einer Weile herauszufinden, weshalb man bei der Funktion f(x) = (x²-2x-3)/(x²-2x+1) als Ableitung f'(x) = 8/((x-1)³⁾ erhält (laut bereits vorhandenem Ergebnis in meinem Skriptum). Ich aber komme auf (8x-8)/(x⁴-4x³+6x²-4x+1). Kann mir bitte irgendjemand erklären was ich falsch mache? Bzw. wie ich noch weiter vereinfachen kann damit ich das richtige Ergebnis erhalte? Vielen vielen Dank schon mal!

Comments

Versuch's mal mit einer Polynomdivision:

(x⁴-4x³+6x²-4x+1) : (x-1) = 

Dann kannst du im Zähler 8 ausklammern und dann voraussichtlich (x-1) kürzen.

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hab diese Polynomdivision gemacht und hab dann als Ergebnis x³ - 3x² + 3x - 1 herausbekommen. 

Wenn ich im Zähler 8 herausklammere habe ich also im Zähler 8(x-1) stehen. Aber wie kann ich in dem Fall (x-1) kürzen, wie kann ich den Nenner noch entsprechend umformen? Danke

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Entweder du erkennst die Koeffizienten aus 1 3 3 1 aus dem Pascaldreieck und weisst gerade, dass x³ - 3x² + 3x - 1 = (x-1)^3 ist. Oder du versuchst weiter zu faktorisieren.

Da x=1 eine Nullstelle ist, kannst du nochmals durch (x-1) dividieren.

(x³ - 3x² + 3x - 1 ):((x-1) = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2

==> x³ - 3x² + 3x - 1 = (x-1)*(x-1)^2 = (x-1)^3.

Alternative (x-1)^3 ausmultiplizieren und schauen, ob dasselbe rauskommt.

Besser ist natürlich, wenn du von Anfang an den Nenner gar nicht ausmultiplizierst und versuchst im Zähler den Faktor (x-1) zu finden, ähnlich wie Brucybabe das vorgemacht hat.

Answer 1

 

f(x) = (x² - 2x - 3) / (x² - 2x + 1)

 

Quotientenregel (u/v)' = (u'v - uv')/v²

u = (x² - 2x - 3)

u' = (2x - 2)

v = (x² - 2x + 1)

v' = (2x - 2)

v² = ((x - 1)²)² = (x - 1)⁴

 

f'(x) = [(2x - 2) * (x - 1)² - (x² - 2x - 3) * (2x - 2)] / (x - 1)⁴ =

2 * [(x - 1) * (x - 1)² - (x² - 2x - 3) * (x - 1)] / (x - 1)⁴ =

2 * [(x - 1)² - (x² - 2x - 3)] / (x - 1)³ =

2 * (x² - 2x + 1 - x² + 2x + 3) / (x - 1)³ =

2 * (4) / (x - 1)³ =

8 / (x - 1)³

 

Besten Gruß

Answer 2

f ( x ) = ( x² - 2x -3 ) / ( x² - 2x +1 )
zur Vereinfachung Polynomdivision

x^2 - 2 x - 3 : x^2 - 2x + 1 = 1 - 4 / ( x^2 - 2x + 1)
x^2 -2x + 1
--------------
               -4

x^2 - 2x + 1 = ( x -1 )^2

f ( x ) = 1 - 4 / ( x-1)^2
f ´( x ) = 4 * 2 * ( x - 1 )  / ( x - 1 )^4
f ´( x ) = 8 / ( x -1 )^3

Es gibt natürlich noch andere Möglichkeiten
der Berechnung.

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg