Aufgabe:wieso ist √3 nicht in Q( √2 )?

Question

Aufgabe:wieso ist \( \sqrt{3} \) nicht in Q(\( \sqrt{2} \))?

Problem/Ansatz: Ich bin gerade am wiederholen für meine Klausur und verstehe das leider nicht, kann mir da jemand bitte helfen?

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Was bedeutet Q (√2) ?

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Q adjungiert \( \sqrt{2} \)

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Unter Adjunktion versteht man im mathematischen Teilgebiet der Algebra das Hinzufügen von weiteren Elementen zu einem Körper oder Ring. Bei Körpern spricht man speziell von der Körperadjunktion und bei Ringen entsprechend von der Ringadjunktion.

Warum sollte √3 dazugehören, wenn Q nur um √2 erweitert ist?

Answer 1

Wäre \( \sqrt{3} \) in Q(\( \sqrt{2} \) ) dann müsste es a und b aus Q geben

mit   \( \sqrt{3} = a\sqrt{2} + b \)

==>     \( (\sqrt{3})^2  = (a\sqrt{2} + b)^2 \)

==>    \( 3 = 2a^2 +2ab\sqrt{2} + b^2 \)

==>    \( 3 -b^2 -2a^2 =  2ab\sqrt{2}  \)

und da offenbar ab≠0

==>    \( \frac{3 -b^2 -2a^2}{2ab} = \sqrt{2}  \)

Links steht eine rat. Zahl und rechts eine irrationale. Widerspruch !

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vielen dank!