Folgende Grenzwerte bestimmen: lim (1/4)x für x gegen 0.

Question

Grenzwertbestimmung bei:

1. $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x * \cos x}{x^{3}}$

hier habe ich mit dem Satz von l'Hospital gearbeitet und als erstes jeweils oben und unten abgeleitet, dann für x = 0 eingesetzt und komme dann auf ∞.

2. $\lim \limits_{x \rightarrow \frac{\Pi}{3}} \frac{2-\sin x}{\cos }$

hier bin ich es wie bereits in Aufgabe 1. vorgegangen und komme dann auf folgendes:

$\lim \limits_{x \rightarrow \frac{\pi}{3}} \frac{-\cos x}{-\sin x}$

Nun müsste ich doch noch x = π/3 einsetzen.

3. $\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{4}\right) ^x$

und hier weiß ich gar nicht so recht wie, ich anfangen soll.

Answer 1

1. hast du offenbar richtig gemacht. Vgl: https://www.wolframalpha.com/input/?i=limes+%28sin+x+cos+x+%2F+x%5E3…

Bei 2. darfst du gar nicht mit Hospital beginnen, da weder 0/0 noch unendlich durch unendlich vorliegt. Setze direkt π/3  ein.

3. Das ist eine Exponentialfunktion

f(x) = 0.25^x

Graph:

 

Du kannst einfach 0 einsetzen, da (1/4)⁰ = 1, ist der gesuchte Grenzwert 1.

Comments

Vielen Dank,
 was ich allerdings noch nicht verstehe ich zu Aufgabe 2. Wie bestimmte ich den ob es 0/0 oder unendlich ist?

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Dafür musst du das 'Ziel' des Limes einsetzen.

Bei 1. (sin 0 cos 0) / 0^3 = (0*1) /0

Bei 2. nun π/3= 60° einsetzen.

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Kommt bei 2 dann ein Grenzwert von 2,27 raus?

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Ich denke schon. Würde ja mit https://www.wolframalpha.com/input/?i=%282-sin%28π%2F3%29%29%2Fcos%2…

übereinstimmen.

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Bitte. Gern!
Vielleicht hat ja noch jemand bei 3. eine rechnerische Lösung, die ohne die Definition von (1/4)^0 auskommt. 1^0 / 4^0 würde ja ebenfalls benutzen, dass 'hoch 0' einfach 1 gibt.