komplexe Gleichungen lösen durch umformen pq formel etc.

Question

Aufgabe:

2) Bestimmen Sie alle (komplexen) Lösungen der Gleichungen:

a) \( z^2 + 3z + 1 = i(2z + 3) \)

b) \(z^4 + 2\sqrt{3} \cdot i = -2\)

Problem/Ansatz:

a) durch umformen pq formel benutzt wurzel konnte zu 1/4 zusammengefasst werden vor der wurzel stand -(3-2i)/2.

dann -3/2+i +- 1/2

führt zu z1=-1+i

z2= -2+i

b) hab ich leider keinen ansatz gefunden. Könnte mir jemand einen ansatz geben

Comments

hab jetzt durch ein wenig umformen

z= \( \sqrt[4]{-8\sqrt{3} \cdot i -8} \)

erhalten.

was kann man als nächstes machen

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Gleichung für b) muss lauten:

\(\frac{z^4}{4} + 2\sqrt{3} \cdot i = -2\)

hab falsch abgetippt

Answer 1

\(z^4 + 2\sqrt{3} \cdot i = -2\) heißt doch einfach

 \(z^4 = -2 -2\sqrt{3} \cdot i =4(\cos 240° + i \cdot \sin 240°)\).

Es gibt 4 komplexe Zahlen, deren vierte Potenz den Betrag 2 und das Argument 240° (wahlweise auch 600° oder 960° oder 1320°) besitzt.

Comments

sorry hab bei b) falsche Gleichung angegeben.

\(\frac{z^4}{4} + 2\sqrt{3} \cdot i = -2\) ist die richtige

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... dann eben  \(z^4 = -8 -8\sqrt{3} \cdot i =16(cos 240° + i \cdot sin 240°)\).

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okay ist das dann richtig wenn eine lösung 1+\( \sqrt{3} \cdot i \) ist?

dann hab ichs verstanden und den rest muss ich ja dann nur noch ausrechnen was sehr schnell geht

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Die Lösung  \(z =2(cos 60° + i \cdot sin 60°)\) sollte dem von dir Genannten entsprechen, Jetzt noch in 90°-Schritten vorrücken...

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z=\( \sqrt{3} \) -i

z= -1-\( \sqrt{3} \) * i

z=-\( \sqrt{3} \) + i

z=1+ \( \sqrt{3} \) * i

sind nun meine lösungen

Answer 2

Fasse es auf einer Seite zusammen und löse mit der pq oder Abc Formel

Text erkannt:

LÖSUNGSSCHRITTE
Löse die quadratische Gleichung
\( z^{2}+(3-2 i) z+(1-3 i)=0 \)

Löse mit Hilfe der a-b-c-Formel
\( z_{1}=-1+i, z_{2}=-2+i \)

Lösungsschritte zeigen \( \rightarrow \)

Comments

Zur Aufgabe b)

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}z^{4}=-2-2 \sqrt{3} i \\ z^{4}=4 \cdot e^{\frac{4}{3} \pi i} \\ z_{1}=\sqrt{2}^{\top} \cdot e^{\frac{1}{3} \pi i}\end{array} \)