Wie komme ich aber auf die Asymptote?

Question

Aufgabe:

Folgende Funktion hat eine Polstelle bei x=3 aber auch eine Asymptote y=2.

Die Polstelle konnte ich errechnen. Wie komme ich aber auf die Asymptote?

Text erkannt:

\( \begin{aligned} f(x) & =(x-3)^{-1}+2 \\ & =\frac{1}{(x-3)}+2 \end{aligned} \)
\( \rightarrow \) Bei \( x=3 \) eine Polstalle, da Nenner hier O wird

Answer 1

\( \begin{aligned} f(x) & =(x-3)^{-1}+2 \\ & =\frac{1}{(x-3)}+2 \end{aligned} \)

\( \lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x-3}+2=2 \)

oder:

\(\frac{1+2x-6}{x-3}=\frac{2x-5}{x-3} \)   mit x kürzen:  \(\frac{2-\frac{5}{x}}{1-\frac{3}{x}} \)

\( \lim\limits_{x\to\infty}\frac{2-\frac{5}{x}}{1-\frac{3}{x}}=2 \)

oder:

mit der Regel von l´Hospital: \( \frac{Z'}{N'} \)

\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{2x-5}{x-3}=\frac{2}{1}=2 \)

Answer 2

Hi,

eine waagrechte Asymptote findest Du, wenn Du schaust, was mit x für unendlich bzw. minus endlich passiert. Wenn Du eine Funktion wie bei Dir vorliegen hast, ist das einfach. Der Bruch geht gegen 0 und es verbleibt y = 2 als waagrechte Asymptote.

Die senkrechte Asymptote entspricht der Polstelle, hast also bei x = 3 eine entsprechende vorliegen.

Grüße