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Text erkannt:

A. 7 Eine Grundgesamtheit \( X \) hat einen Mittelwert von \( \mu=10 \).
a) Wenn \( X \) normalverteilt ist mit der Varianz \( \sigma^{2}=(5,2)^{2} \), dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Stichprobe vom Umfang \( n=25 \) einen arithmetischen Mittelwert \( \bar{X} \) von weniger als 12 hat, größer als \( 95 \% \).
b) Wenn \( X \) normalverteilt ist und seine Varianz nicht bekannt ist, aber eine Stichprobe vom Umfang \( n=25 \) eine Varianz von \( s^{2}=(1,5)^{2} \) hat, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass der arithmetische Mittelwert \( \bar{X} \) weniger als 12 ist, kleiner als \( 80 \% \).
c) Wenn die Verteilung von \( X \) und seine Varianz nicht bekannt sind, aber eine Stichprobe vom Umfang \( n=226 \) eine Varianz von \( s^{2}=(1,7)^{2} \) hat, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass der arithmetische Mittelwert der Stichprobe \( \bar{X} \) weniger als 12 ist, größer als \( 95 \% \).

Aufgabe:

Könnte mir jemand bei der Aufgabe weiterhelfen. Ich bin mir unsicher, ob man hier Tschebychev oder Normalverteilung verwenden muss?

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Soll man hier entscheiden, ob die Aussagen wahr oder falsch sind?

Ja, aber ich denke hier muss man konfidenzintervalle verwenden

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Hier sind zwei Lösungsmöglichkeiten für b):


Genaue Lösung:

Die Größe \(t_{n-1} :=\frac{\bar X - \mu}{s}\sqrt n\) ist \(t\)-verteilt mit \(n-1\) Freiheitsgraden:

\(P\left(\bar X < 12 \right)= P\left(\underbrace{\frac{\bar X - 10}{1.5}\cdot 5}_{=t_{24}}< \underbrace{\frac{12-10}{1.5}\cdot 5 }_{=\frac{20}3}\right) \approx 1\)

Berechnung hier.


Lösung durch Schätzung/Plausibilität: (wenn man schnell entscheiden muss)

Der Stichprobenmittelwert hat eine geschätzte Standardabweichung von \(\frac{s}{\sqrt n} = \frac{1.5}{5} = 0.3\)

Damit entspricht \(12-\mu = 2\) mehr als 6 Standardabweichungen. Das 3-Sigma-Intervall entspricht aber schon einer Wahrscheinlichkeit von 99.7%.


Insgesamt: b) ist falsch.

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