Tschebychev Ungleichung oder Normalverteilung?

Question

Text erkannt:

A. 7 Eine Grundgesamtheit \( X \) hat einen Mittelwert von \( \mu=10 \).
a) Wenn \( X \) normalverteilt ist mit der Varianz \( \sigma^{2}=(5,2)^{2} \), dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Stichprobe vom Umfang \( n=25 \) einen arithmetischen Mittelwert \( \bar{X} \) von weniger als 12 hat, größer als \( 95 \% \).
b) Wenn \( X \) normalverteilt ist und seine Varianz nicht bekannt ist, aber eine Stichprobe vom Umfang \( n=25 \) eine Varianz von \( s^{2}=(1,5)^{2} \) hat, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass der arithmetische Mittelwert \( \bar{X} \) weniger als 12 ist, kleiner als \( 80 \% \).
c) Wenn die Verteilung von \( X \) und seine Varianz nicht bekannt sind, aber eine Stichprobe vom Umfang \( n=226 \) eine Varianz von \( s^{2}=(1,7)^{2} \) hat, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass der arithmetische Mittelwert der Stichprobe \( \bar{X} \) weniger als 12 ist, größer als \( 95 \% \).

Aufgabe:

Könnte mir jemand bei der Aufgabe weiterhelfen. Ich bin mir unsicher, ob man hier Tschebychev oder Normalverteilung verwenden muss?

Comments

Soll man hier entscheiden, ob die Aussagen wahr oder falsch sind?

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Ja, aber ich denke hier muss man konfidenzintervalle verwenden

Answer 1

Hier sind zwei Lösungsmöglichkeiten für b):

Genaue Lösung:

Die Größe \(t_{n-1} :=\frac{\bar X - \mu}{s}\sqrt n\) ist \(t\)-verteilt mit \(n-1\) Freiheitsgraden:

\(P\left(\bar X < 12 \right)= P\left(\underbrace{\frac{\bar X - 10}{1.5}\cdot 5}_{=t_{24}}< \underbrace{\frac{12-10}{1.5}\cdot 5 }_{=\frac{20}3}\right) \approx 1\)

Berechnung hier.

Lösung durch Schätzung/Plausibilität: (wenn man schnell entscheiden muss)

Der Stichprobenmittelwert hat eine geschätzte Standardabweichung von \(\frac{s}{\sqrt n} = \frac{1.5}{5} = 0.3\)

Damit entspricht \(12-\mu = 2\) mehr als 6 Standardabweichungen. Das 3-Sigma-Intervall entspricht aber schon einer Wahrscheinlichkeit von 99.7%.

Insgesamt: b) ist falsch.