Hallo,
Also auf die stützstellen +/-wurzel(3/7) komme ich auch. Allerdings nicht auf die Gewichte.
das find' ich nun wieder erstaunlich, denn mit den Stützstellen lassen sich doch die Gewichte sofort berechnen. Bzw. die fallen geneinsam aus den selben Gleichungen heraus ... wenn Deine Methode sehr von dem abweicht, was ich hier zeige, dann solltest Du uns das mal vorstellen!
Allgemein gilt doch für eine (exakte) Quadraturformel mit \(n\) Stützstellen, angewendet auf eine Funktion \(g(x)\) mit einem bekannten Intervall \([a,b]\) $$\int\limits_{a}^{b} g(x)\,\text{d}x = \sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_{i}g(x_i)$$Wobei \(x_i\) die Stützstellen und \( \alpha_i\) die dazugehörigen Gewichte sind.
Nun ist hier das Intervall und der Typ der Funktion gegeben.$$g(x) = f(x)\sqrt{|x|} \quad\quad f(x) \in P_3$$Jetzt steht da der Tipp: " Ansatz mit Monombasis" Dann mach das doch:$$f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3$$Die Koeffizienten \(a_k\) können wir getrost ignorieren, da die später nur linear in das Integral eingehen und ansonsten müssen wir für jedes \(p\in\{0,1,2,3\}\) (also für jedes Monom) folgende Gleichung aufstellen:$$\int\limits_{-1}^{1}x^p\sqrt{|x|}\,\text{d}x = \sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_{i}g(x_i)\quad\quad g(x)=x^p\sqrt{|x|}$$Und damit rate ich jetzt zum ersten Mal. Ich habe nämlich einfach angenommen, dass man mit \(n=2\) auskommt. Wegen dem Faktor \(\sqrt{|x|}\) war ich mir nicht sicher ob das reicht. Anderseits würde man das in der folgenden Rechnung schon merken, wenn \(n=2\) zu klein wäre.
Weiter müssen die Integrale auf der linken Seite berechnet werden. Das ist für ungerade \(p\) ganz einfach, in dem Fall muss das Integral \(=0\) sein, da \(g(x)=x^p\sqrt{|x|}\) dann punktsymmetrisch ist. Und für die verbleibenden habe ich:$$\begin{aligned} \int\limits_{-1}^{1}x^0\sqrt{|x|}\,\text{d}x &= \frac{4}{3} \\ \int\limits_{-1}^{1}x^2\sqrt{|x|}\,\text{d}x &= \frac{4}{7}\end{aligned}$$Und mit der obigen Annahme \(n=2\) kann man nun folgendes Gleichungssystem aufstellen:$$\begin{aligned} p=0:\quad &&\alpha_1\sqrt{|x_1|} + \alpha_2\sqrt{|x_2|}&= \frac{4}{3} \\ p=1: \quad &&\alpha_1x_1\sqrt{|x_1|} +\alpha_2x_2\sqrt{|x_2|}&= 0 \\ p=2: \quad &&\alpha_1x_1^2\sqrt{|x_1|} +\alpha_2x_2^2\sqrt{|x_2|}&= \frac{4}{7} \\ p=3: \quad &&\alpha_1x_1^3\sqrt{|x_1|} +\alpha_2x_2^3\sqrt{|x_2|}&= 0 \\ \end{aligned}$$Zum einen habe ich nun vier Gleichungen mit vier Unbekannten, was gut ist, aber auch Gleichungen die nicht linear sind, was nicht so gut ist.
Nun rate ich das zweite Mal. Weil nämlich die Funktionen hier entweder punkt- oder achsensymmetrisch sind, nehme ich mal an, dass sich diese Symmetrie auf die Parameter abfärbt, ich postuliere dass ...$$x_2 = -x_1 \\ \alpha_1 = \alpha_2$$ ... ist. Was den Vorteil hat, dass die Gleichungen mit ungeradem \(p\) sofort erfüllt sind. Und übrig bleibt$$\begin{aligned} p=0:\quad &&2\alpha_1\sqrt{x_1}&= \frac{4}{3} \\ p=2: \quad &&2\alpha_1x_1^2\sqrt{x_1} &= \frac{4}{7} \\ \end{aligned}$$und nach Division der zweiten Gleichung durch die erste kommt man sehr fix zu$$\implies x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{3}{7}},\quad \alpha_{1,2}= \frac{2}{3}\cdot \sqrt[4]{\frac{7}{3}} \approx 0,8240$$und anbei noch ein Desmos-Script, das zeigt, dass diese Lösung auch funktioniert.
https://www.desmos.com/calculator/6fs1hpkmmo
es wird sowohl das Integral berechnet als auch die Quadraturformel angewendet. Die beiden Ergebnisse sind immer identisch, egal wie Du mit den bunten Punkten rechts durch vertikales Verschieben die Funktion manipulierst.
Falls irgendwas unklar ist, so frage bitte nach. Und wie Du zu den Stützstellen gekommen bist, hätte ich auch gern gewußt ;-)
Gruß Werner
