Gaußsche Quadraturformel bestimmen

Question

Folgende Aufgabenstellung ist gegeben:

Text erkannt:

(ii) Man bestimme eine Gaußsche Quadraturformel, welche das Integral
$\int \limits_{-1}^{1} f(x) \sqrt{|x|} d x$
für alle Polynome $f \in P_{3}$ exakt integriert. (Tipp: Ansatz mit Monombasis)

Wie muss ich hier vorgehen? Soll ich bezüglich Wurzel(abs(x)) erst alle orthogonalen Polynome bestimmen und dann die nullstellen zu bestimmen, um diese als Stützstellen zu nehmen?

Mir scheint das etwas zu aufwendig.

Comments

Mir scheint das etwas zu aufwendig.

mit ein wenig 'intelligentem Probieren' ist es es gar nicht so aufwendig. IMHO reichen 2 Stützstellen $x_{1,2}$ mit Gewichtungen $\alpha_{1,2}$. Ich habe$$x_{1,2}=\pm\sqrt{\frac{3}{7}}\approx \pm0,6547,\quad \alpha_{1,2}= \frac{2}{3}\cdot \sqrt[4]{\frac{7}{3}} \approx 0,8240$$melde Dich kurz, wenn Du noch Interesse an der Aufgabe hast.

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Danke. Wie kommt man denn darauf?

Ich habe tatsächlich mir jetzt doch die Mühe gemacht und orthogonale Polynome bestimmt. Deren nullstellen sind allerdings nicht mit deinen stützstellen identisch.

Würde mich also doch interessieren, wie man sich das Leben vereinfachen kann xD

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ich melde mich heute Abend ...

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Danke schön!!

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Ich habe mich auch nochmal selber dran gesetzt.

Also auf die stützstellen +/-wurzel(3/7) komme ich auch. Allerdings nicht auf die Gewichte.

Answer 1

Hallo,

Also auf die stützstellen +/-wurzel(3/7) komme ich auch. Allerdings nicht auf die Gewichte.

das find' ich nun wieder erstaunlich, denn mit den Stützstellen lassen sich doch die Gewichte sofort berechnen. Bzw. die fallen geneinsam aus den selben Gleichungen heraus ... wenn Deine Methode sehr von dem abweicht, was ich hier zeige, dann solltest Du uns das mal vorstellen!

Allgemein gilt doch für eine (exakte) Quadraturformel mit $n$ Stützstellen, angewendet auf eine Funktion $g(x)$ mit einem bekannten Intervall $[a,b]$ $$\int\limits_{a}^{b} g(x)\,\text{d}x = \sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_{i}g(x_i)$$Wobei $x_i$ die Stützstellen und $\alpha_i$ die dazugehörigen Gewichte sind.

Nun ist hier das Intervall und der Typ der Funktion gegeben.$$g(x) = f(x)\sqrt{|x|} \quad\quad f(x) \in P_3$$Jetzt steht da der Tipp: " Ansatz mit Monombasis" Dann mach das doch:$$f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3$$Die Koeffizienten $a_k$ können wir getrost ignorieren, da die später nur linear in das Integral eingehen und ansonsten müssen wir für jedes $p\in\{0,1,2,3\}$ (also für jedes Monom) folgende Gleichung aufstellen:$$\int\limits_{-1}^{1}x^p\sqrt{|x|}\,\text{d}x = \sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_{i}g(x_i)\quad\quad g(x)=x^p\sqrt{|x|}$$Und damit rate ich jetzt zum ersten Mal. Ich habe nämlich einfach angenommen, dass man mit $n=2$ auskommt. Wegen dem Faktor $\sqrt{|x|}$ war ich mir nicht sicher ob das reicht. Anderseits würde man das in der folgenden Rechnung schon merken, wenn $n=2$ zu klein wäre.

Weiter müssen die Integrale auf der linken Seite berechnet werden. Das ist für ungerade $p$ ganz einfach, in dem Fall muss das Integral $=0$ sein, da $g(x)=x^p\sqrt{|x|}$ dann punktsymmetrisch ist. Und für die verbleibenden habe ich:$$\begin{aligned} \int\limits_{-1}^{1}x^0\sqrt{|x|}\,\text{d}x &= \frac{4}{3} \\ \int\limits_{-1}^{1}x^2\sqrt{|x|}\,\text{d}x &= \frac{4}{7}\end{aligned}$$Und mit der obigen Annahme $n=2$ kann man nun folgendes Gleichungssystem aufstellen:$$\begin{aligned} p=0:\quad &&\alpha_1\sqrt{|x_1|} + \alpha_2\sqrt{|x_2|}&= \frac{4}{3} \\ p=1: \quad &&\alpha_1x_1\sqrt{|x_1|} +\alpha_2x_2\sqrt{|x_2|}&= 0 \\ p=2: \quad &&\alpha_1x_1^2\sqrt{|x_1|} +\alpha_2x_2^2\sqrt{|x_2|}&= \frac{4}{7} \\ p=3: \quad &&\alpha_1x_1^3\sqrt{|x_1|} +\alpha_2x_2^3\sqrt{|x_2|}&= 0 \\ \end{aligned}$$Zum einen habe ich nun vier Gleichungen mit vier Unbekannten, was gut ist, aber auch Gleichungen die nicht linear sind, was nicht so gut ist.

Nun rate ich das zweite Mal. Weil nämlich die Funktionen hier entweder punkt- oder achsensymmetrisch sind, nehme ich mal an, dass sich diese Symmetrie auf die Parameter abfärbt, ich postuliere dass ...$$x_2 = -x_1 \\ \alpha_1 = \alpha_2$$ ... ist. Was den Vorteil hat, dass die Gleichungen mit ungeradem $p$ sofort erfüllt sind. Und übrig bleibt$$\begin{aligned} p=0:\quad &&2\alpha_1\sqrt{x_1}&= \frac{4}{3} \\ p=2: \quad &&2\alpha_1x_1^2\sqrt{x_1} &= \frac{4}{7} \\ \end{aligned}$$und nach Division der zweiten Gleichung durch die erste kommt man sehr fix zu$$\implies x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{3}{7}},\quad \alpha_{1,2}= \frac{2}{3}\cdot \sqrt[4]{\frac{7}{3}} \approx 0,8240$$und anbei noch ein Desmos-Script, das zeigt, dass diese Lösung auch funktioniert.

es wird sowohl das Integral berechnet als auch die Quadraturformel angewendet. Die beiden Ergebnisse sind immer identisch, egal wie Du mit den bunten Punkten rechts durch vertikales Verschieben die Funktion manipulierst.

Falls irgendwas unklar ist, so frage bitte nach. Und wie Du zu den Stützstellen gekommen bist, hätte ich auch gern gewußt ;-)

Gruß Werner

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Danke für die ausführliche Antwort

Answer 2

Warum sollte die Basis orthogonal sein 1, x, x², x³ reichen wenn Pr heiss Polynome vom Grad <=3

lul

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Okay, wie muss ich denn dann vorgehen, um an die stützstellen etc. Zu kommen?

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Find  jeweils den Wert des bestimmten Integrals und   suche dazu passende Stützstellen zwischen -1 und 1 . so dass die Summen stimmen.

Gruß lul