Welche Länge hat die Stange, welchen Winkel bildet sie mit der x1/x2- Ebene?

Question

Aufgabe:
Welche Länge d hat die Stange, welchen Winkel ρ bildet sie mit der x₁/x₂- Ebene? Die Stange hat die Punkte Z₁(-1/4/4) und Z₂(1/-4/3).

Problem/Ansatz:

Ich habe die Länge bereits ausgerechnet und komme auf \( \sqrt{69} \). Beim Winkel habe ich Probleme, ich habe die Geradengleichung für Z₁Z₂ aufgestellt:

\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} -1\\4\\4 \end{pmatrix} \) +r·\( \begin{pmatrix} 2\\-8\\-1 \end{pmatrix} \) und der Normalenvektor lautet \( \vec{n} \) =\( \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \) . Wenn ich das alles in die Gleichung schreibe für den Winkel ρ, komme ich auf \( \frac{-1}{\sqrt{69}·\sqrt{1}} \) aber eigentlich sollte da eine "+1" stehen. Ich weiß nicht, wo der Fehler ist. Vielen Dank schonmal für die Hilfe.

Comments

Hast du im Zähler die Betragstriche vergessen?

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also im zähler steht bei mir: 2*0+(-8)*0+(-1)*1

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Dann hast du im Zähler tatsächlich die Striche vergessen. Die Formel lautet

\( \sin (\alpha)=\displaystyle \frac{|\vec{n} \circ \vec{u}|}{|\vec{n}| \cdot|\vec{u}|} \)

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könntest du mir den Bruch mit den Zahlen schreiben? Ich verstehe nicht ganz was du mit den Strichen meinst.

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Die Striche sind Beträge

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ist mir immer noch nicht klar was gemeint ist... Wäre es möglich mir den richtigen Bruch zu schreiben? Vielen Dank

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https://de.serlo.org/mathe/1777/länge-eines-vektors

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also einfach nur 2 striche um die Zahlen dich im Zähler stehen habe? Dadurch wird das Minus zu einem Plus?

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Genau, das sind sogenannte Betragstriche.

Der Betrag einer Zahl bestimmt ihren Abstand von der Null auf einem Zahlenstrahl. Da beispielsweise -3 und 3 gleich weit entfernt sind, gilt

\(\mid-3\mid=3\\ \mid3\mid=3\)

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okay vielen dank

Answer 1

Bei Winkeln zwischen Vektoren muss man darauf achten, dass die Vektoren beide vom Scheitelpunkt wegzeigen, damit mit der "normalen Formeln" (ja, in den Schulbüchern fehlen im Zähler häufig die Betragsstriche) gearbeitet werden kann. Du kannst ja deinen Richtungsvektor bzw. Normalenvektor einfach mit minus 1 multiplizieren und würdest dann die Richtung des Vektors ändern. Das Skalarprodukt hätte dann ein anderes Vorzeichen und dein Winkel wäre positiv.

Aus diesem Grund ist es sinnvoll, um den Zähler Beträge zu setzen (das heißt, beim Weiterrechen spielt das Vorzeichen keine Rolle). Man erhält dann aber den richtigen Winkel.

Deine Rechnung ist also gar nicht falsch, sondern lediglich unvollständig, weil du die Richtung der Vektoren nicht berücksichtigt hast.

Answer 2

Wenn Z₁ und Z₂ die Endpunkte der Stange sind, stimmen deine Ergebnisse. Wie kommst du auf die Idee, dass etwas falsch sein könnte?

Comments

weil in der Musterlösung 1/wurzel 69 steht,aber nicht der Rechenweg und die finale lösung ist gerundet 6,91 Grad. Wenn ich bei mir rechne komme ich auf -6,91 Grad

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6,91° uns - 6,91° sind Winkel gleicher Größe und verschiedener Umlaufrichtung.