Ist mein Beweis okay?
Aufgabe:
Seien \( A \) und \( B \) abgeschlossene Mengen in einem metrischen Raum \( M \). Zeigen Sie, dass dann auch \( A \cap B \) abgeschlossen ist.
Beweis:
Sei \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine konvergente Folge in \( A \cap B \), dann gilt für alle \( n \in \mathbb{N}: x_{n} \in A, x_{n} \in B \)
Sei \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=x \).
Angenomen \( x \notin A \), dann wäre \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) keine konvergente Folge in \(A\) das steht im Widerspruch zur Abgeschlossenheit von \( A \)
\( \Rightarrow x \in A \)
Analog folgt \( x \in B \) und somit \( x \in A \cap B \).
