Gegeben ist ein Dreieck mit den Eckpunkten A (0/0), B (8|-2) und C(6|2).

Question

Aufgabe

Schwerpunkt eines Dreiecks
Gegeben ist ein Dreieck mit den Eckpunkten A (0/0), B (8|-2) und C(6|2).
Die Seitenhalbierende s, ist die Gerade durch C und den Mittel-
punkt M, von AB.
a) Geben Sie Parametergleichungen für die drei Seitenhalbie-
renden an. Zeigen Sie, dass sich die Seitenhalbierenden in
einem Punkt S schneiden.
b) In welchem Verhältnis teilt S die Strecken, die durch die Sei-
tenhalbierenden vorgegeben werden?

Problem/Ansatz:

Answer 1

Es gibt 3 Seitenhalbierende.

Eine Seitenhalbierende geht immer durch eine Ecke und den Mittelpunkt

der gegenüberliegenden Seite, z.B. für die Ecke A durch A

und M_BC = (  (8|-2) + (6|2)) /2 =   ( 7 | 0 )

Und die Gerade durch A (0/0) und ( 7 | 0 ) hat die z.B. Parametergleichung

 \( \vec{x}=\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} 7\\0 \end{pmatrix}  \).

Das ist also die x-Achse.

oder durch B und M_AC = (  (0|0) + (6|2)) /2 =  ( 3 | 1 ) wäre es

\( \vec{x}=\begin{pmatrix} 8\\-2 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} -5\\3 \end{pmatrix}  \).

Die dritte ist dann \( \vec{x}=\begin{pmatrix} 6\\2 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} -2\\-3 \end{pmatrix}  \).

Für den Schnitt musst du einen Parameter umbenennen, also betrachte etwa

\( \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 7\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 8\\-2 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} -5\\3 \end{pmatrix} \)

Das gibt 7s=8-5t und 0=-2+3t , also t=2/3 und s=2/3.

==>   S=(14/3 ; 0 ) .

Und das in die 3. Gleichung einsetzen zeigt:

S liegt auch auf der 3. Seitenhalbierenden.

Für das Teilverhältnis berechne die Längen z.B. von AS und SM_BC .

Dann hast du das Teilverhältnis 14/3 : 7/3 = 2:1. Das ist bei den anderen auch so.

Answer 2

Den Schwerpunkt eines Dreiecks kann man auch mit dem Mittelwert der 3 Koordinaten der Eckpunkte berechnen. Das liefert dann zur Kontrolle \( S=( \frac{0+8+6}{3}| \frac{0-2+2}{3})= ( \frac{14}{3}| 0)\).