Benötige Hilfe beim Berechnen der Fläche des Integrals

Question

Aufgabe:

Inhalt der Fläche, die der Graph der Funktion f(x) mit der x-Achse einschließt

Integral: -1/3 x³ - 4x

Problem/Ansatz:

Ich benötige Hilfe beim Berechnen des Inhaltes, vielen Dank im Voraus.

Comments

Hi,

in welchem Intervall denn? Oder hast Du Dich bei einem Vorzeichen vertan?

Grüße

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Die Funktion schneidet die x-Achse nur bei \(x=0\).

Daher ist nicht klar, was mit "eingeschlossen" gemint sein soll.

Stimmt die Aufgabenstellung?

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Die vollständige Aufgabenstellung lautet: Berechnen Sie den Inhalt der Fläche bzw. Flächen, die der Graph der Funktion f(x) mit der x-Achse einschließt! Geben Sie dabei stets eine entsprechende Stammfunktion mit an!

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Kannst Du die Funktion nochmals überprüfen?

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Vielen Dank für den Hinweis der Überprüfung! Es hat sich ein Fehler von mir eingeschlichen! Formel lautet: −1/3x³+3x

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Lautet die Funktion womöglich \(f(x)=-\frac{1}{x^3}\red{+}4x\) ? Oder gibt es noch einen zusätzlichen Parameter?

Dann schaut der Graph so aus:

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-1/3x(x^2-9) = 0

x= 0 v x= +-3

Integriere von 0 bis 3 und verdopple das Ergebnis. (Punktsymmetrie)

F(x) = -1/12*x^4+ 3/2*x^2 

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Nein, es gibt keinen zusätzlichen Parameter.

Answer 1

Aloha :)

Die Funktion$$f(x)=-\frac13x^3+3x=-\frac x3\left(x^2-9\right)=-\frac13x(x-3)(x+3)$$hat 3 Nullstellen: \(x_1=-3\;;\;x_2=0\;;\;x_3=3\). Die mit der x-Achse eingeschlossene Fläche ist daher:$$F=\left|\int\limits_{-3}^0f(x)\,dx\right|+\left|\int\limits_{0}^3f(x)\,dx\right|=\left|\left[-\frac{1}{12}x^4+\frac32x^2\right]_{-3}^0\right|+\left|\left[-\frac{1}{12}x^4+\frac32x^2\right]_{0}^3\right|$$$$\phantom F=\left|-\frac{27}{4}\right|+\left|\frac{27}{4}\right|=\frac{27}{2}$$

Answer 2

Nullstellen:

-1/3x*(x^2+12) = 0

x=0 v x= +-√-12 (in R nicht definiert)

Die Fläche ist unendlich, weil es außer x= 0 keine weiteren Nullstellen gibt.

Answer 3

Hi MMZ,

so sieht das schon besser aus ;).

Bestimme erst die Nullstellen:

\(f(x) = -\frac13x^3+3x = -\frac x3(x-3)(x+3)\)

Hier kann man die Nullstellen \(x_1 = -3, \quad x_2 = 0\) und \(x_3\) = 3 ablesen.

Wenn man nun noch verwendet, dass eine Funktion dritten Grades Punktsymmetrisch zum Wendepunkt ist, kann man sich die Rechnung etwas vereinfachen, indem man den rechten Flächeninhalt berechnet und diesen verdoppelt.

\(\int_0^3 f(x) = \frac{27}{4}\)

Das verdoppeln wir und erhalten:

\(A = \frac{27}{2}\)

Grüße