Spiegelung und Drehung einer Matrix

Question

Hey Leute

Ich muss obige Aufgabe lösen und habe keine Ahnung, wie man das macht. Kann mir jemand den Lösungsweg dieser Aufgabe erläutern?

Vielen Dank im Voraus und einen schönen Abend

Answer 1

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

Wenn \(A\) eine Spiegelmatrix darstellt, so muss es einen Eigenwert \(\lambda=-1\) geben. Der zugehörige Eigenvektor ist dann der Normalenvektor der Spiegelebene \(\alpha\). Hier ist $$e_1 = \begin{pmatrix}3\\ 2\\ 1\end{pmatrix} \quad \lambda_1 = -1$$Folglich ist die Ebene \(\alpha\)$$\alpha: \quad x \begin{pmatrix}3\\ 2\\ 1\end{pmatrix} = 0$$

zu 2) Um festzustellen ob es sich um ein Links- oder Rechtssystem handelt, bilde das Kreuzprodukt der beiden ersten Spalten. Wenn das Ergebnis die gleiche Orientierung hat wie der dritte Spaltenvektor, so ist es ein Rechtssystem. Hat er in diesem Fall nicht, also ist es ein Linkssystem.

Btw.: eine Spiegelmatrix ist immer ein Linkssystem!

zu 3) Suche den Eigenvektor mit dem Wert \(\lambda=1\). Unter der Annahme, dass das neue \(A_2\) eine Drehmatrix ist, wäre dies dann die Drehachse.

Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Comments

Ich habe die ersten beiden Spalten von \(A\) vertauscht:

Dann bekomme ich eine Drehmatrix mit Drehachse und Drehwinkel von $$d = \begin{pmatrix}1\\ 1\\ -5\end{pmatrix}\quad \varphi \approx -158,2°$$

---

Ich frage mich immer wieder, ob Studenten überhaupt mal ins Skript reinschauen bevor Aufgaben gemacht werden.

Mir scheint es manchmal, als ob sämtliche Grundlagen fehlen.

Gerade das Untersuchen einer Matrix auf Eigenwerte und Eigenvektoren sollte drangekommen sein und auch was eine Spiegelung und was eine Drehung bedeutet.