zeigen sie, dass f eine Drehspiegelung ist. bestimmen sie drehspiegelachse, drehwinkel und drehspiegelebene.

Question

also ich hab bis jetzt den fixpunkt ausgerechnet:

  Ax + t = x      <=>    t = (E-A)x

 die Determinante ist vermutlich -1

Jetzt müsste ich ja gezeigt haben, dass es sich um eine Drehspiegelung handelt. Weil es sonst bei den Isometrien im R³ nix mit diesen Eigendschaften gibt.

Wie berechne ich jetzt die gesuchten sachen?

muss ich die abblidung in eine Drehung und eine spiegelung aufteilen?

Comments

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also die determinante ist = 0. was heißt das jetzt? oder muss ich die determinante von einer ON-Basis aus Eigenvektoren bestimmen?

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Wie hast Du denn die Determinante berechnet? Und warum überhaupt?

Answer 1

Ich würde erst mal die gesuchten Daten bestimmen und

dann zeigen, dass es eine Drehspiegelung ist.

Geht natürlich auch anders über die Eigenschaften der Matrix bei Wahl

des geeigneten Nullpunktes.

Der Fixpunkt ist ja  F  =   1/2 * ( 1 ;  1  ;  -√2 )

und die Achse muss nun dadurch gehen und auf sich abgebildet werden,

genauer: Der Richtungsvektor v muss zu -v werden.

Für die Matrix schreibe ich mal m, dann gilt 

f(  1/2 * ( 1 ;  1  ;  -√2 ) + v ) =     1/2 * ( 1 ;  1  ;  -√2 ) - v

1/2 * m * (  1/2 * ( 1 ;  1  ;  -√2 ) + v ) + ( 1 ;  1 ;  0 )  =    1/2 * ( 1 ;  1  ;  -√2 ) - v

1/2 * m * (  1/2 * ( 1 ;  1  ;  -√2 ) + v )  =     1/2 * ( - 1 ;   -1  ;  -√2 )  -   v

1/4 * m * ( 1 ;  1  ;  -√2 )  +     1/2 * m *   v   =     1/2 * ( - 1 ;   -1  ;  -√2 )  -   v

 -1/2 * (  1 ;  1  ;  √2 )  +     1/2 * m *   v   =     1/2 * ( - 1 ;   -1  ;  -√2 )  -   v

                                              1/2 * m *   v   =     -   v 

v muss also ein Eigenvektor von 1/2 m zum Eigenwert -1 sein.

  1/2 * m *   v   +  v    = 0

( 1/2 * m   +  E )  * v =  0   

also v = ( -t ; t ; 0 )  also etwa   v = ( -1  ;  1  ;  0 )

Dann hast du also als Drehachse   g:   x =     1/2 * ( 1 ;  1  ;  -√2 )   +  t * (  -1  ;  1  ;  0 )

und da die Spiegelebene orthogonal zu g ist und durch den Fixp. geht.

E :   -x₁ + x₂ = 0 

Und für den Drehwinkel brauchst du ja nur mal einen Punkt (am besten einen aus E)

abzubilden:    Etwa   P= ( 1 ; 1 ; 0 ) Das gibt

f  ( 1 ; 1 ; 0 )= ( 1 ; 1; √2)  Jetzt den Winkel zwischen  Vektor FP und   Vektor FP '

FP = 1/2( 1 ; 1 ; √2 )  und  F P ' =  1/2( 1 ; 1 ; - √2 )

Die sind senkrecht, also Winkel 90°.

Jetzt hast du alle Daten und musst nur noch zeigen, dass es auch wirklich diese

Drehspiegelung ist.