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1. (4 Punkte) Sei \( V \) ein 2-dimensionaler Euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt \( \phi \) und mit einer Orientierung (Orientierung: wenn man nur Basiswechselmatrizen mit positiver Determinante betrachtet, zerfäll die Menge aller Basen in 2 disjunkte Teilmengen; eine Orientierung ist die Wahl einer dieser beiden Mengen; der Winkel einer Drehung bestimmt sich so, dass der erste Basisvektor einer Basis in der Orientierungsklasse in Richtung des zweiten Basisvektors gedreht wird). Die Gruppe \( O(V, \phi) \) der orthogonalen Automorphismen besteht aus den Drehungen um 0 und den Spiegelungen an Geraden durch 0,
\( \begin{aligned} d_{\alpha} & :=\text { Drehung um den Winkel } \alpha, \\ s_{v} & :=\text { Spiegelung an der Geraden durch } v \in V-\{0\} . \end{aligned} \)
Als Menge ist \( O(V, \phi) \) isomorph zu \( S^{1} \times\{ \pm 1\} \), aber als Gruppe nicht. Vielmehr ist sie ein semidirektes Produkt (Definition nicht hier) der Gruppen \( S^{1} \) und \( \{ \pm 1\} \). Drehungen und Spiegelungen kommutieren nicht, sondern es gilt
\( d_{\alpha} \circ s_{v} \circ d_{\alpha}^{-1}=s_{d_{\alpha}(v)} \text {. } \)
Vervollständigen Sie die folgende Tabelle zur Gruppenstruktur von \( O(V, \phi) \). Der Winkel zwischen \( w \) und \( v \) soll \( \gamma \) genannt werden; genauer: \( \gamma \) ist der Winkel mit \( d_{\gamma}\left(\frac{w}{\|w\|}\right)=\frac{v}{\|v\|} \)
\begin{tabular}{c|c|c}
\( \circ \) & \( d_{\beta} \) & \( s_{w} \) \\
\hline\( d_{\alpha} \) & \( d_{\alpha} \circ d_{\beta}=d_{\alpha+\beta} \) & \( d_{\alpha} \circ s_{w}=s_{\ldots} \) \\
\hline\( s_{v} \) & \( s_{v} \circ d_{\beta}=s_{d \cdot} l_{\beta}(v) \) & \( s_{v} \circ s_{w}=d_{\ldots} \)
\end{tabular}
Machen Sie zu den 3 Fällen \( s_{v} \circ d_{\beta}=s_{\ldots .}, d_{\alpha} \circ s_{w}=s_{\ldots .} \) und \( s_{v} \circ s_{w}=d_{\ldots .} \) je eine Skizze und beweisen Sie Ihre Formel auf der rechten Seite.
Hinweise: Der Beweis muß natürlich benutzen, wie Drehungen und Spiegelungen charakterisiert sind. Jede Drehung \( d_{\alpha} \) erfüllt \( \operatorname{det} d_{\alpha}=1 \), jede Spiegelung \( s_{v} \) erfüllt \( \operatorname{det} s_{v}=-1 \), und \( s_{v} \) hat \( v \) als Eigenvektor mit Eigenwert 1 (und einen orthogonalen Vektor als Eigenvektor mit Eigenwert -1). In den beiden Fällen \( s_{v} \circ d_{\beta} \) und \( d_{\alpha} \circ s_{w} \) reicht es zu zeigen, dass eine Spiegelung rauskommt, und einen Eigenvektor mit Eigenwert 1 zu finden.
kann mir hier jemand mal ein Teil vorrechnen wird hie Drehung oder Spieglung zuerst ausgeführt?
