Aloha :)
Gesucht ist die partielle Ableitung von$$f(x;y)=x^6\cdot e^{\frac{y^6}{x^6+y^6}}$$nach der Variablen \(x\). Daher behandelst du \(y\) wie ein konsante Zahl.
Im ersten Schritt wendest du die Produktregel an:$$f_x(x;y)=\left(\underbrace{x^6}_{=u}\cdot\underbrace{e^{\frac{y^6}{x^6+y^6}}}_{=v}\right)'=\underbrace{6x^5}_{=u'}\cdot\underbrace{e^{\frac{y^6}{x^6+y^6}}}_{=v}+\underbrace{x^6}_{=u}\cdot\underbrace{\left(e^{\frac{y^6}{x^6+y^6}}\right)'}_{=v'}$$
Zur Bestimmung von \(v'\) brauchst du die Kettenregel:$$f_x(x;y)=6x^5\cdot e^{\frac{y^6}{x^6+y^6}}+x^6\cdot\underbrace{e^{\frac{y^6}{x^6+y^6}}}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{\left(\frac{y^6}{x^6+y^6}\right)'}_{\text{innere Abl.}}$$
Zur Bestimmung der inneren Ableitung nutzen wir die Quotientenregel:$$\left(\frac{\overbrace{y^6}^{=u}}{\underbrace{x^6+y^6}_{=v}}\right)'=\frac{\overbrace{0}^{=u'}\cdot\overbrace{(x^6+y^6)}^{=v}-\overbrace{y^6}^{=u}\cdot\overbrace{6x^5}^{=v'}}{\underbrace{(x^6+y^6)^2}_{=v^2}}=-\frac{6x^5y^6}{(x^6+y^6)^2}$$
Das setzen wir oben ein und erhalten schließlich:$$f_x(x;y)=6x^5\cdot e^{\frac{y^6}{x^6+y^6}}+x^6\cdot e^{\frac{y^6}{x^6+y^6}}\cdot\left(-\frac{6x^5y^6}{(x^6+y^6)^2}\right)$$$$f_x(x;y)=6x^5e^{\frac{y^6}{x^6+y^6}}\left(1-\frac{x^6y^6}{(x^6+y^6)^2}\right)$$
Speziell an der Stelle \((x_0;y_0)=(1;1,74)\) gilt daher:$$f_x(1;1,74)\approx15,2234$$
