Question

Partielle Ableitung mit e-Funktion:

\( T E W L=k 1 *\left(e ^{ \frac{k 2 * T 1+\delta t 1}{k 3+T 1+\delta t 1} } · r h l+ \delta rh 2-e ^{ \frac{k 2 * T 2+\delta t 2}{k 3+T 2+\delta t 2} } · rh2 + \delta rh2 \right) \)

Ich muss die Formel nach δt1, δrh1, δrh2, δt2 partiell ableiten.

Ansatz:

ct1= ∂TEWL/ ∂δt1 =

ct2=∂TEWL/ ∂δt2 =

crh1= ∂TEWL/ ∂δrh1 =

crh2 = ∂TEWL/ ∂δrh2 =

k1,k2 und k3 sind Konstanten.T1 und T2 sind Temperturangaben. Rh1 und Rh2 ist die relative Feuchte.

Comments

δrh1 taucht in dem Ausdruck gar nicht auf. Aufgrund der Struktur des Ausdrucks darf man wohl annehmen, dass an der Stelle des ersten Auftretens von δrh2 wohl δrh1 stehen sollte ...?

Answer 1

Nun, soooo schwierig ist das gar nicht :-)

Wenn meine Annahme (siehe meinen Kommentar) stimmt, dann sind zumindest die Ableitungen nach δrh1 und δrh2 wirklich ganz einfach, denn bzgl. dieser Variablen sind alle übrigen Teilausdrücke jeweils konstant, sodass sich TEWL für diese Fälle auch so schreiben lässt:

TEWL = K1 * ( C1 + δrh1 - C3 + C4 )

bzw.

TEWL = K1 * ( C1 + C2 - C3 + δrh2 )

mit C1, C2, C3 und C4 konstant

 

Multipliziert man aus, erhält man:

TEWL = K1 * C1 + K1 * δrh1 - K1 * C3 + K1 * C4

bzw.

TEWL = K1 * C1 + K1 * C2 * K1 * C3 + K1 * δrh2

Beim Ableiten nach δrh1 bzw. δrh2 werden nun alle Summanden, die δrh1 bzw.  δrh2 nicht enthalten, zu Null , da sie konstant sind, und es ergibt sich:

∂ TEWL / ∂ δrh1 = K1

bzw.

∂ TEWL / ∂ δrh2 = K1

 

Ein bisschen schwieriger sind die partiellen Ableitungen nach δt1 bzw. δt2. Aber auch hier kann man stark vereinfachen. Ich führe es mal an ∂ TEWL / ∂ δt1 vor:

Bzgl. δt1 sind der zweite, der dritte und der vierte Summand in der Klammer konstant, man kann TEWL also auch so schreiben (bereits ausmultipliziert):

TEWL = K1 * e ^{( ( k2 * T1 + δt1 ) / ( k3 + T1 + δt1 ) )} * rh1 + K1 * C 

mit C konstant.

Der Summand K1 * C ist dann auch konstant und wird daher beim Ableiten zu Null.

Setzt man nun noch:

Q = K1 * rh1, R = k2 * T1 und S = k3 + T1, dann gilt also:

∂ TEWL / ∂ δt1 = ∂ ( Q * e ^{( ( R + δt1 ) / ( S + δt1 ) )} ) / ∂ t1

Wenn ich nun noch Zeit hätte, würde ich das noch ausrechnen - leider habe ich keine Zeit mehr und muss daher schreiben: Das sollte man nun auch noch hinbekommen :-)

 

∂ TEWL / ∂ δt2 wird dann prinzipiell genauso berechnet.

Comments

Cool, danke. Muss ich das jetzt nach der Kettenregel auflösen??

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Ja - und die innere Ableitung (den Exponenten der e-Funktion) mit der Quotientenregel.

Anschließend die Konstanten Q, R und S wieder rücksubstituieren.

Es ergibt sich:

∂ TEWL / ∂ δt1 = k1 * rh1 * ( k3 + T1 - k2 * T1) * e ^{( ( k2 * T1 + δt1 ) / ( k3 + T1 + δt1 ) )} / ( k3 + T1 + δt1 ) ²