Rechnung zum Logarithmus

Question

Aufgabe:

(ln(e^2))^4

Problem/Ansatz:

1. Weg

4*ln(e^2)

4*ln(e)*2 = 8

bzw. Potenzgesetz = ln(e^(2*4)) = 8

2. Weg

(2*ln(e))^4

2^4 = 16

Der Taschenrechner gibt als Lösung die 16 aus, verstehe aber nicht, warum der 1. Rechenweg falsch sein sollte.

Welche Rechnung ist nun richtig und warum?

Answer 1

ln(e^2) =2*ln(e) = 2*1 = 2

2^4 = 16

Die innere Klammer hat Vorrang. Von innen nach außen auflösen.

(ln x)^4 = ln^4(x) = ln(x)*ln(x)*ln(x)*ln(x)

Comments

Ok, aber warum dann:

ln((2e^3)^4) = 4*ln(2e^3)

usw.

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Es gilt: ln(a^b) = b*ln(a)

2e^3  entspricht a, 4 dem b.

2e^3 ist ausgerechnet eine Zahl (40,171...)

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Genau, aber warum dann bei der anderen Aufgabe von innen nach außen rechnen?

ln(e^2)^4 → Hier hätte ich auch 4*ln(e^2) = 4*2 gerechnet bzw. Logarithmusgesetz ln(e^(2*4)). Beides ergibt 8, sollte aber 16 ergeben.

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Weil es eine äußere und innere Klammer gibt wie beimKlammerauflösen bei

a+[b- (c-d)- e]

Wenn man beide Klammertypen verwendet,wird es vlt. deutlicher.

Es ist Konvention:

log(a)^n = log^n(a)

aber:

log(a^n)= n*log(a)

Ein feiner, aber wichtiger Unterschied.

vgl:

https://www.wolframalpha.com/input?i=log%28e%5E2%29%5E4+

Bei wolfram meint log immer ln = log_e.

log oder lg kann steht auf Taschenrechnern meist für log_10, dekadischer Logarithmus

Hier muss man aufpassen, weil es internatioal nicht einheitlich gehandhabt wird. Genauso verwendet wolfram Punkt, wo wir Komma setzen:

12.345 = 12,345

12,345 = 12345 = 12.235 (kaufmännisch)

https://de.wikipedia.org/wiki/Dezimaltrennzeichen

Answer 2

4*ln(e²)  und  (2*ln(e))⁴  ist doch nicht das gleiche.

Es ist doch

ln(e²)⁴ = ln (e²) *ln (e²) * ln (e²) * ln (e²)  

aber

4*ln(e²) = ln(e²)+ln(e²)+ln(e²)+ln(e²)

Answer 3

Aloha :)

Es gelten die beiden Rechenregeln:$$\log(a\cdot b)=\log(a)+\log(b)$$$$\log(a\div b)=\log(a)-\log(b)$$Du gehst also beim Aufteilen des Logarithmus eine Rechenart runter, aus Mal wird Plus und aus Geteilt wird Minus.

Das kann man auch auf Potenzen mit \(n\in\mathbb N\) ausweiten:$$\log(a^n)=\log(\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdots a}_{\text{n Faktoren}})=\underbrace{\log(a)+\log(a)+\log(a)+\ldots+\log(a)}_{\text{n Summanden}}=n\cdot\log(a)$$Das bleibt sogar gültig, wenn \(n\) keine natürliche Zahl ist.

Das heißt, auch beim Potenzieren geht es eine Rechenart runter zum Multiplizieren:$$\log(a^b)=b\cdot\log(a)$$

Bei deinem ersten Rechenweg steht der Exponent \(4\) nicht als Argument in der Logarithmusfunktion, deswegen kannst du die \(4\) nicht als Faktor vorziehen:$$\left(\ln(e^2)\right)^4\ne4\cdot\ln(e^2)$$

Richtig gerechnet haben wir:$$\left(\ln(e^2)\right)^4=\left(\ln(e\cdot e)\right)^4=\left(\ln(e)+\ln(e)\right)^4=(1+1)^4=2^4=16$$