Aloha :)
$$\sum\limits_{k=1}^\infty-\frac{(pt)^k}{\log(1-p)\cdot k}=-\frac{1}{\log(1-p)}\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{(pt)^k}{k}$$
Mit \(x:=pt\) gilt weiter, unter der Voraussetzung, dass \(|pt|=|x|<1\) ist:
$$\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{(pt)^k}{k}=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{x^k}{k}=\sum\limits_{k=1}^\infty\int\limits_0^x \tilde x^{k-1}d\tilde x=\int\limits_0^x\left(\sum\limits_{k=1}^\infty \tilde x^{k-1}\right)d\tilde x=\int\limits_0^x\left(\sum\limits_{k=0}^\infty \tilde x^k\right)d\tilde x$$$$=\int\limits_0^x\frac{1}{1-\tilde x}\,d\tilde x=\log(1-x)=\log(1-pt)$$Beachte, dass die Vertauschung von Integration und Summation nur innerhalb des Konvergenzradius der geometrischen Reihe erlaubt ist. Daher konvergiert die Reihe nur für \(|pt|<1\):$$\sum\limits_{k=1}^\infty-\frac{(pt)^k}{\log(1-p)\cdot k}=\frac{\log(1-pt)}{\log(1-p)}\quad\text{für}\quad|pt|<1$$
