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Hallöchen,

Ich habe folgende Ungleichung per Induktion zu beweisen:Mathelounge.JPG

Mein einziges Problem liegt im Induktionsschritt. Ich schaffe da die korrekte Umformung bzw. Abschätzung nicht. Ich kam bisher bis zu diesem Punkt:

(1+x)n+1=(1+x)n(1+x)(1+(2n1)x)(1+x)Induktionsvoraussetzung=(1+(2nxx))(1+x)=(1+x)+(2nxx)(1+x)=1+x+2nx+2nx2xx2=1+2nx+2nx2x21+2nx+2nxx2da 0x1x2x=1+22nxx2=1+2n+1xx2(1+x)^{n+1} \\=(1+x)^{n}*(1+x) \\ \leq (1+(2^{n}-1)x)*(1+x) \leftarrow Induktionsvoraussetzung \\ =(1+(2^{n}x-x))*(1+x) \\ =(1+x)+(2^{n}x-x)*(1+x) \\ =1+x+2^{n}x+2^{n}x^{2}-x-x^{2} \\ =1+2^{n}x+2^{n}x^{2}-x^{2} \\ \leq 1+2^{n}x+2^{n}x-x^{2} \leftarrow da ~ 0\leq x \leq 1 \Longrightarrow x^{2}\leq x \\ =1+2*2^{n}x-x^{2} \\ =1+2^{n+1}x-x^{2}

Ich habe zuerst gedacht ich könnte -x²<= -x abschätzen und das x ausklammern aber das wäre falsch gewesen, daher hänge ich hier fest. Für Anregungen wäre ich dankbar :)

Text erkannt:

nN,0x1 : (1+x)n1+(2n1)x \forall_{n \in \mathbb{N}, 0 \leq x \leq 1}:(1+x)^{n} \leq 1+\left(2^{n}-1\right) x

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Meine LaTeX Einbettung hat anscheinend nicht funtioniert. Habe ich mich irgendwo vertan?

2 Antworten

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1+2nx+2nx2x2 1+2^{n}x+2^{n}x^{2}-x^{2} weiter so:

=1+2nx+(2n1)x2 = 1+2^{n}x+(2^{n}-1)x^{2} und wegen x^2 ≤x

1+2nx+(2n1)x \le 1+2^{n}x+(2^{n}-1)x

=1+(2n+2n1)x = 1+(2^{n}+2^{n}-1)x

=1+(2n+11)x = 1+(2^{n+1}-1)x

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Achte auf das Ziel: Du willst auf die Form 1+x(...)1+x\cdot(...) kommen. Mach das erstmal (vor Abschätzungen). Dann schätzt Du in (...) mit x1x\le 1 ab, und dann bist Du fertig.

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