Das Ergebnis müsste C = 15/13 lauten, aber wie komme ich dahin?

Question

Aufgabe:

Löse folgendes lineares Gleichungssystem:

(1) A = 1/2 + 1/2 * C
(2) B = 1/2 + 1/4 * A
(3) C = 1/2 + 1/4 * A + 1/2 * B

Problem/Ansatz

Ich weiß nicht, wie ich die Variable C nun so isoliere, sodass ich einen Wert herausbekomme.

Das Ergebnis müsste C = 15/13 lauten, aber wie kommt man dahin?

Ich hoffe, mir kann jemand helfen. Vielen Dank schonmal!

Lösen durch Einsetzen und Umformen:

(1) in (2) einsetzen, um (4) zu generieren:
(4) B = 1/2 + 1/4 * (1/2 + 1/2 * C)
(4) B = 1/2 + 1/8 + 1/8 * C
(4) B = 4/8 + 1/8 + 1/8 * C
(4) B = 5/8 + 1/8 * C

(1) und (4) in (3) einsetzen, um (5) zu generieren:
(5) C = 1/2 + 1/4 * (1/2 + 1/2 * C) + 1/2 * (5/8 + 1/8 * C)
(5) C = 1/2 + 1/8 + 1/8 * C + 5/16 + 1/16 * C | auf Nenner 16 bringen? Ist das korrekt?
(5) C = 8/16 + 2/16 + 2/16 * C + 5/16 + 1/16 * C | Wie bekomme ich C nun isoliert?

Weiter komme ich leider nicht...

Answer 1

Schade, dass niemand auf deinen bisherigen Ansatz eingeht und lieber jeder seinen eigenen Weg zeigt. Also mache ich das einfach mal:

C = 8/16 + 2/16 + 2/16 * C + 5/16 + 1/16 * C

Du musst hier doch nur weiterrechnen, also erstmal zusammenfassen:

16/16 * C = 15/16 + 3/16 * C | -3/16 * C

13/16 * C = 15/16 | : 13/16 bzw. * 16/13

C = 15/16 * 16/13 = 15/13.

Du warst also gar nicht weit weg vom Ziel!

Answer 2

A = 1/2 + 1/2·C --> C = 2·A - 1

B = 1/2 + 1/4·A

Setze beides in die 3. Gleichung ein

C = 1/2 + 1/4·A + 1/2·B
(2·A - 1) = 1/2 + 1/4·A + 1/2·(1/2 + 1/4·A) --> A = 14/13

Hiermit kannst du jetzt direkt auch B und C bestimmen.

B = 1/2 + 1/4·14/13 = 10/13

C = 2·14/13 - 1 = 15/13

Comments

So geht es viel sinnvoller und schneller!

Vielen Dank für die schnelle und gut nachvollziehbare Antwort!

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Beachte, dass Gleichungen, die 2 Unbekannte enthalten, sehr gut für Substitutionen geeignet sind, um eine Unbekannte durch eine andere auszudrücken.

Es ist sinnvoll, dass man sowas auf Anhieb sehen kann.

Answer 3

a= 0,5+0,5c

c= 2a-1

b= 0,5+0,25a

2a-1= 0,5+0,25a+0,25+0,125a

1,625a-1 = 0,75

1,625a= 1,75

a= 1,75/1,625 = 1750/1625= 70/65 = 14/13

b=

c=