Gib die Definitionsmenge und die Lösungsmenge an: (x^2 + 4)/x - (x + 2)/(2·x) = (3·x^2 + 12)/(4·x)

Question

Gib die Definitionsmenge und die Lösungsmenge an.

 \( \frac{x^{2}+4}{x}-\frac{x+2}{2 x}=\frac{3 x^{2}+12}{4 x} \)

Answer 1

(x^2 + 4)/x - (x + 2)/(2·x) = (3·x^2 + 12)/(4·x)

Definitionsbereich D = R \ {0}

Die ganze Gleichung mal 4x

4(x^2 + 4) - 2(x + 2) = 3·x^2 + 12

4·x^2 + 16 - (2·x + 4) = 3·x^2 + 12

4·x^2 - 2·x + 12 = 3·x^2 + 12

x^2 - 2·x = 0

x·(x - 2) = 0

x1 = 0
x2 = 2

Die Lösung 0 ist nicht in der Definitionsmenge enthalten. Damit ist die Lösungsmenge
L = {2}

Answer 2

D = R \ { 0 }

Zur Lösung:

Ersten Bruch mit 4, zweiten Bruch mit 2 erweitern. Man erhält:

<=> ( 4 ( x ² + 4 ) - 2 ( x + 2 ) ) / 4 x = ( 3 x ² + 12 ) / 4 x

Für x <> 0 darf die Gleichung mit 4 x multipliziert werden. Es ergibt sich:

<=> 4 ( x ² + 4 ) - 2 ( x + 2 )  = 3 x ² + 12

Ausmultiplizieren:

<=> 4 x ² + 16 - 2 x - 4  = 3 x ² + 12

<=> x ² - 2 x = 0

x Ausklammern:

<=> x ( x - 2 ) = 0

Satz vom Nullprodukt:

<=> x = 0 oder  x = 2