Ableitungen von Funktionsschar e-Funktion

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

\( f(x)=(2-x) \cdot e^{k x} \)
b)
\( \begin{array}{rlr} f^{\prime}(x) & =-1 \cdot e^{k x}+(2-x) \cdot e^{k x} \cdot k \quad n \cdot f^{\prime}(x)=0 \\ & =e^{k x}(-1+2 k-k x)=(k x-2 k-1) e^{k x} \quad n \end{array} \)
\( e^{k x} \neq 0 \)
\( \begin{aligned} f^{\prime \prime}(x) & =k \cdot e^{k x}+(k x-2 k-1) \cdot e^{k x} \cdot k \\ & =\left(k^{2} x-2 k^{2}\right) e^{k x} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} f^{\prime \prime}(x) & =k^{2} \cdot e^{k x}+\left(k^{2} x-2 k^{2}\right) \cdot e^{k x} \cdot k \\ & =\left(k^{2}+k^{3} x-2 k^{3}\right) \cdot e^{k x} \end{aligned} \)
\( \begin{array}{l} (k x-2 k-1) e^{k x}=0 \\ k x-2 k-1=01+1 \\ k x-2 k=1 \quad 1+2 k \\ k x=1+2 k \quad 1: k \\ x=\frac{1+2 k}{k} \end{array} \)

Ich habe die Ableitungen dieser Funktion bestimmt und die notwendige Bedingung gemacht. Kannen  jemand bitte korrigieren?

Comments

b) Wie kommst du auf (kx-2k-1)*e^(kx) am Ende?

https://www.ableitungsrechner.net/

---

Ich habe e ausgeklammert und das was übrig blieb habe ich in der Klammer geschrieben

---

Schau dir mal die Vorzeichen an! Warum kx und -2k?

Wenn du (-1) ausklammerst, entsteht:

-e^(2kx)*(1-2k+kx)

Wolltest du das?

Answer 1

Hallo,

bei der 1. Ableitung hast du dich beim Ausklammern mit den Vorzeichen vertan.

\( \begin{aligned} f_{k}^{\prime}(x) & =-e^{k x}+(2-x) \cdot k \cdot e^{k x} \\ & \left.=e^{k x} \cdot(-1+(2-x) \cdot k)\right) \\ & =e^{k x} \cdot(-1+2 k-k x) \\ & =e^{k x}(-k x+2 k-1)\end{aligned} \)

Gruß, Silvia

Comments

Text erkannt:

\( \begin{aligned} f^{\prime}(x) & =-1 \cdot e^{k x}+(2-x) \cdot e^{k x} \cdot k \\ & =e^{k x}(-1+2 k-k x)=(-k x+2 k-1) e^{k x}\end{aligned} \)
\( \begin{aligned} f^{\prime \prime}(x) & =-k \cdot e^{k x}+(-k x+2 k-1) \cdot e^{k x} \cdot k \\ & =\left(-k+\left(-k^{2} x+2 k^{2}-k\right)\right. \\ & =\left(-2 k-k^{2} x+2 k^{2}\right) \cdot e^{k x}\end{aligned} \)
\( \begin{aligned} f^{\prime \prime}(x) & =-k^{2} \cdot e^{k x}+\left(-2 k-k^{2} x+2 k^{2}\right) \cdot e^{k x} \cdot k \\ & =\left(-k^{2}+\left(-2 k^{2}-k^{3} x+2 k^{3}\right) e^{k x}\right. \\ & =\left(-k^{2}-2 k^{2}-k^{3} x+2 k^{3}\right) e^{k x} \\ & =\left(-3 k^{2}-k^{3} x+2 k^{x}\right)\end{aligned} \)

Hier habe ich es neu abgeleitet. Danke!

---

Ist die notwendige Bedingung korrekt?

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}(-k x+2 k-1) e^{k x}=0 \\ -k x+2 k-1=01+1 \quad e^{k x} \neq 0 \\ -k x+2 k=1 \quad 1-2 k \\ -k x=1-2 k \quad::(-k) \\ x=\frac{1-2 k}{k}=\frac{1}{k}-2\end{array} \)

---

Du hast ganz klar ein "Vorzeichen-Problem" ;.)

Wenn du durch -k teilst, verändern sich die Vorzeichen von 1 und -2k.

Richtig für die x-Koordinate des Extrempunkts ist also \(-\frac{1}{k}+2\)

Answer 2

Ein Ableitungsrechner kann dir helfen, deine Ableitungen zu kontrollieren.

f(x) = e^(k·x)·(2 - x)

f'(x) = e^(k·x)·(- k·x + 2·k - 1)

f''(x) = e^(k·x)·(- k^2·x + 2·k^2 - 2·k)