Natürliche e-Funktion - Funktionsschar und Ursprungsgerade

Question

Aufgabe: Gegeben ist die Kurvenschar f_a(x)=x+ae^-x , a ungleich 0. Bestimmt werden soll die Gleichung der Ursprungsgeraden h_a(x)=mx, welche den Graphen der Funktion f_a berührt.

Problem/Ansatz:

Ich muss die erste Ableitung bilden: f'(x)= 1-ae^-x

Ist das direkt der Anstieg m? Weil dann wäre die Funktionsgleichung für h= (1-ae^-x)*x.... Allerdings steht in den Lösungen für h=(1-ae)*x

Vielleicht weil eine Gerade gesucht ist? Oder wie ist der richtige Ansatz für die Lösung?

Danke schon einmal im Voraus :)

Answer 1

f(x) = a·e^(-x) + x

Gesucht ist eine Lineare Funktion die Tangente an den Graphen von f ist.

(f(x) - 0) / (x - 0) = f'(x)

(a·e^(-x) + x) / x = 1 - a·e^(-x) --> x = -1

t(x) = f'(-1)·(x + 1) + f(-1) = (1 - a·e)·(x + 1) + a·e - 1 = x - a·e·x = (1 - a·e)·x

Answer 2

Hallo,

dein Ansatz ist richtig. Mit der Ableitung hast du \(m=1-ae^{-x}\) berechnet.

Da die Gleichung der Geraden jedoch h_a(x) = mx lautet, musst du dieses x noch "anhängen".

Gruß, Silvia

Answer 3

Ist das direkt der Anstieg m?

Nein. Das ist eine Formel, mit der du an jeder Stelle den Anstieg berechnen kannst.

h_a(x)=mx, welche den Graphen der Funktion f_a berührt.

Mit anderen Worten, h_a soll Tangente von f_a sein.

Ich habe aber keine Ahnung, an welcher Stelle h_a Tangente von f_a sein soll.

Deshalb führe ich für die Stelle eine Variable ein: h_a soll Tangente von f_a an der Stelle u_a sein.

Dann kann man das übliche Gleichungssystem zur Bestimmung von Tangenten aufstellen:

        h_a'(u_a) = f_a'(u_a)
        h_a(u_a) = f_a(u_a)

Löse das Gleichungssystem.

Answer 4

Aloha :)

Wir suchen diejenige Tangente an die Funktion$$f_a(x)=x+ae^{-x}$$die durch den Nullpunkt geht. Die Tangente an die Funktion im Punkt \(x_0\) lautet:$$t(x)=f_a(x_0)+f'_a(x_0)\cdot(x-x_0)$$Da sie durch den Ursprung gehen soll, haben wir eine Forderung an \(x_0\):$$0\stackrel!=t(0)=f_a(x_0)-x_0\cdot f'_a(x_0)\implies f_a(x_0)=x_0\cdot f'_a(x_0)$$

Das können wir lösen:$$\left.f_a(x_0)=x_0\cdot f'_a(x_0)\quad\right|\text{Funktion einsetzen}$$$$\left.x_0+ae^{-x_0}=x_0\cdot\left(1-ae^{-x_0}\right)\quad\right|\text{rechts ausrechnen}$$$$\left.x_0+ae^{-x_0}=x_0-ax_0e^{-x_0}\quad\right|-x_0$$$$\left.ae^{-x_0}=-ax_0e^{-x_0}\quad\right|\colon a$$$$\left.e^{-x_0}=-x_0e^{-x_0}\quad\right|\cdot e^{x_0}$$$$\left.1=-x_0\quad\right|\cdot(-1)$$$$x_0=-1$$

Damit kennen wir die Steigung \(m\) der gesuchten Geraden:$$m=f'(-1)=\left(1-ae^{-x}\right)_{x=-1}=1-ae$$und können die Gleichung der Geraden angeben:$$h_a(x)=\left(1-ae\right)\cdot x$$