Ableitung e-Funktionsschar, aber wie?

Question

Hallo, wie leite ich folgende Funktion ab?:

h_k(x)= 10 (1-e^-kx)*e^-x

Jaaa....Produktregel....aber wie?

Answer 1

Über die Produktregel
k(x)= 10 * (1-e-kx)*e-x
Den faktor 10 lasse ich zunächst einmal weg
und füge ihn am Schluss wieder zu

u = 1 - e^(-kx)
u ´= - e^(-kx) * ( -k )= k * e^(-kx)

v = e^(-x)
v = - e^(-x)

u ´ * v + u * v ´

k * e^(-kx) * e^(-x) + ( 1 - e^(-kx) ) * (- e^(-x)) =
e^(- kx - x) * ( 1 + k ) - e^(-x)

Answer 2

Jaaa....Produktregel....aber wie?

Multipliziere vorher aus, dann brauchst du keine Produktregel.

Answer 3

Text erkannt:

Möglichkeit, um über die Quotientenregel abzuleiten
\( h_{k}(x)=10 \cdot\left(1-e^{-k \cdot x}\right) \cdot e^{-x}=10 \cdot\left(1-\frac{1}{e^{k \cdot x}}\right) \cdot \frac{1}{e^{x}}=10 \cdot\left(\frac{e^{k \cdot x}-1}{e^{k \cdot x}}\right) \cdot \frac{1}{e^{x}}=\frac{10 e^{k \cdot x}-10}{e^{k \cdot x+x}} \)
\( \left[\frac{10 e^{k \cdot x}-10}{e^{k \cdot x+x}}\right] \cdot=\frac{10 e^{k \cdot x} \cdot k \cdot e^{k \cdot x+x}-\left(10 e^{k \cdot x}-10\right) \cdot e^{k \cdot x+x} \cdot(k+1)}{\left(e^{k \cdot x+x}\right)^{2}}= \)
\( =\frac{10 e^{k \cdot x} \cdot k-\left(10 e^{k \cdot x}-10\right) \cdot(k+1)}{e^{k \cdot x+x}} \)

Answer 4

h(x)= 10 (1-e^{-kx})*e^{-x}

h(x)= 10e^{-x}-10e^{-(k+1)x}

h'(x)= -10e^{-x}+10(k+1)e^{-(k+1)x}