Hallo Momo,
zu 2)
$$f_a(x) = \sqrt{ a^2 - x^2 }$$
$$f'_a(x) = -\frac{ x }{ \sqrt{ a^2 - x^2 } }$$
Bei Achsensymmetrie gilt: f (-x) = f (x)
Du ersetzt in der ersten Gleichung also alle x durch -x und erhältst:
$$f_a(x) = \sqrt{ a^2 -(- x)^2 }$$
= $$f_a(x) = \sqrt{ a^2 - x^2 }$$ = f(x) ⇒ symmetrisch zur y-Achse
Bei Punktsymmetrie gilt f(-x) = - f (x)
Du ersetzt wieder x durch -x in der zweiten Gleichung und erhältst
$$f'_a(-x) = -\frac{ (-x) }{ \sqrt{ a^2 - (-x)^2 } }$$
= $$ - (\frac{ -x }{ \sqrt{ a^2 - x^2 } })$$
⇒ symmetrisch zum Ursprung
zu 3)
gesucht ist P (p|f(p))
Der Flächeninhalt des Rechtecks ist
A = p * f(p)
also
$$A = p*\sqrt{ a^2-p^2 }$$
Um den maximalen Flächeninhalt zu ermitteln, bildest du die erste Ableitung von A, setzt sie gleich null und berechnest p in Abhängigkeit von a:
$$A' = \frac{ 2p^2 - a^2 }{ \sqrt{ a^2 - p^2 }}$$
$$ \frac{ 2p^2 - a^2 }{ \sqrt{ a^2 - p^2 }} = 0$$
$$2p^2 - a^2 = 0$$
$$2p^2 = a^2$$
$$p^2 = a^2/2$$
$$p = \frac{ a }{\sqrt{ 2 } }$$
Gruß
Silvia
