Ich jhabe nochmal nachgedacht. Die Bedingungen lauteten anders : ((( ...
|f(x)| ≤ 1 und |f''(x)| ≤ 1
und daraus habe ich jetzt gemacht mit mehrmaliger anwendung der dreiecksungleichung:
$$ f(x) ={ T }_{ k } (x) + { R }_{ k } (x)\\ \\ $$
$$So\quad dass\quad auch\quad f(x) = { T }_{ 1 }(x) + { R }_{ 1 }(x)\quad gilt.\\ \\ Subtrahieren\quad von\quad diesen\quad 2\quad Gleichungen\\ \\ f(0)\quad =\quad { T }_{ 1 }(0)\quad +\quad { R }_{ 1 }(0)\quad und\quad f(2)\quad =\quad { T }_{ 1 }(2)\quad +\quad { R }_{ 1 }(2)\\ \\ ergibt:\\$$
$$ \\ \\ f(0) - f(2) = f(a) + f'(a)(-a) + \frac { f''(\xi ) }{ 2 } (-a)² -\quad \left( f(a) +\ f'(a)(2-a) + \frac { f''(\xi ) }{ 2 } (2-a)² \right) \\ \\ $$
$$f(0) - f(2) =\quad -2f'(a) + \frac { f''(\xi ) }{ 2 } (-a)² - \frac { f''(\xi ) }{ 2 } (2-a)² \le -2f'(a) + \frac { |f''(\xi )| }{ 2 } (-a)² - \frac { |f''(\xi )| }{ 2 } (2-a)²\\ \\$$
$$ \left| f(0) - f(2) \right| = \left| -2f'(a) + \frac { f''(\xi ) }{ 2 } (-a)² - \frac { f''(\xi ) }{ 2 } (2-a)² \right| = \left| -2f'(a)+ \frac { f''(\xi )a² }{ 2 } - \frac { f''(\xi ) }{ 2 } \left( a²- 4a +4 \right) \right| \\$$
$$ \\ \left| f(0) - f(2) \right| \le \left| -2f'(a) \right| +\left| \frac { f''(\xi ) a² }{ 2 } \right| + \left| \frac { f''(\xi ) }{ 2 } \left( a² - 4a + 4 \right) \right| \\$$
$$ \\ \left| f(0) - f(2) \right| - \left| -2f'(a) \right| \le \left| f(0) - f(2) + -2f'(a) \right| \le \left| \frac { f''(\xi ) a² }{ 2 } \right| + \left| \frac { f''(\xi ) }{ 2 } \left( a² - 4a+ 4 \right) \right| \\$$
$$ \\ aus\quad |f''(x)| \le 1\quad folgt\quad damit\quad für\quad |f''(\xi )|:\\ \\ \left| f(0)- f(2) + 2f'(a) \right| \le \underset { \uparrow \ge 0 }{ \left| \frac { a² }{ 2 } \right| } + \underset { \uparrow \ge 0 }{ \left| \frac { 1 }{ 2 } \left( a² - 4a + 4 \right) \right| } = \frac { a² }{ 2 } + \frac { a² }{ 2 } - 2a + 2 = a² - 2a + 2 = 2 + a(a-2) $$
kann ich das so lassen ? bloss wie komme ich jetzt zu f'(x) ≤ 2 ?