f : [0,2] ---> R zweimal differenzierbar, für jedes x ∈ [0,2] gilt f(x) ≤ 1 , f''(x) ≤ 1 ....

Question

Sei f : [0,2] ---> R zweimal differenzierbar,

für jedes x ∈ [0,2] gelte:  f(x) ≤ 1 , f''(x) ≤ 1

Zeigen Sie: für jedes x ∈ [0,2] gilt f'(x) ≤ 2

Hinweis: wenden Sie den Satz von Taylor mit Lagrange Restglied auf f an mit Entwocklungspunkt a ∈ [0,2]

Zeigen Sie damit | f(0) - f(2) + 2f'(a) | < 2 + a(a-2)

Mir fällt leider nichts ein wie ich auf diesen Hinweis kommen soll und kann es mir auch nicht vorstellen.

Der Satz von Taylor besagt ja:

f : I ---> R ist zweimal differenzierbar , a ∈ I

f(x) = T_k (x) + R_k (x)  mit x ∈ I 

damit wäre : f(x) = T₂ (x) + R₂ (x) , x ∈ [0,2]

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + (f''(a)/2) (x-a)² + (f'''(ξ) / 6) / (x-a)³

Und da hier f''' ist habe ich einfach k = 1 gesetzt da ja für jedes k das taylorpolynom eine annäherung an f von a ist

f(x) = T₁ (x) + R₁ (x) , x ∈ [0,2]

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + (f''(ξ) / 2) / (x-a)²


f(0) = f(a) + f'(a)(-a) + (f''(ξ) / 2) / (-a)²    ↔  f(0) = f(a) - f'(a)(a) + (f''(ξ) / 2) / (-a)² 
f(2) = f(a) + f'(a)(2-a) + (f''(ξ) / 2) / (2-a)²

Subtrahieren:


f(0) - f(2) = - f'(a) + f'(2-a) + [....]

jetzt soll gelten (f''(ξ) / 2) ≤ 1

f(0) - f(2) = -a f'(a) + 2 f'(a) - a f'(a) + a²/2 - 1/2 ( a² - 4a + 4) = 2 f'(a) - 2af'(a) - 2a + 2 =

Wenn ich darauf anwende im Restglied dass f''(x) ≤ 1 komme ich mit mehreren weg nicht zu diesem Hinweis.
Wie löst man diese Aufgabe ?

Comments

Es fehlt bei dem Satz von Taylor:

(i)  lim (x→a)  (R_k (x) / (x-a)^k ) = 0  für k ≥ 1

(ii) lim (x→a)  (R_k (x) / (x-a)^k+1 ) = f ^k+1 (a) / (k+1)!     für k ≥ 0

(iii) ist f (k+1)-mal differenzierbar so gibt es zu jedem x ∈ I \ {a}

mind. ein ξ ∈ ]min{x,a} , max{x,a}[ mit

R (x) = (f ^k+1 (ξ) / (k+1)!) * (x-a) ^k+1

und es soll heißen : jetzt soll gelten f''(ξ)  ≤ 1

---

*  f : I ---> R ist k-mal differenzierbar , a ∈ I

---

habe noch einen fehler gefunden:

jetzt soll gelten (f''(ξ) / 2) ≤ 1

f(0) - f(2) ≤ -a f'(a) - 2 f'(a) + a f'(a) + a²/2 - 1/2 ( a² - 4a + 4) = -2 f'(a) + 2a - 4 = 2(a-2)

f(0) - f(2) + 2f'(a) ≤ 2(a-2)

f(0) - f(2) + 2f'(a)  ≤ 2a - 4 < a² -2a + 2

könnte man jetzt einfach sagen :

2a -4 < a² - 2a + 2

4a - 4 < a² + 2 
0 < a² - 4a + 2 wahr da:

2 +- √ (4 - 2) := 2+√2 , 2- √2  > 0


nur was macht man damit? das würde ja bedeuten mit f(x) ≤ 1

| f(0) - f(2) + 2f'(a)  | ≤ 2a - 4 < a² -2a + 2 = 2 + √2
| f(0)/2 - f(2)/2 + f'(a)  | ≤ |(1/2)  - (1/2)  + f'(a) |≤ a - 2 ≤ (a²/2) - a + 1

---

Ich jhabe nochmal nachgedacht. Die Bedingungen lauteten anders : ((( ...

|f(x)| ≤ 1 und |f''(x)| ≤ 1

und daraus habe ich jetzt gemacht mit mehrmaliger anwendung der dreiecksungleichung:

$$ f(x) ={ T }_{ k } (x) + { R }_{ k } (x)\\ \\ $$

$$So\quad dass\quad auch\quad f(x) = { T }_{ 1 }(x) + { R }_{ 1 }(x)\quad gilt.\\ \\ Subtrahieren\quad von\quad diesen\quad 2\quad Gleichungen\\ \\ f(0)\quad =\quad { T }_{ 1 }(0)\quad +\quad { R }_{ 1 }(0)\quad und\quad f(2)\quad =\quad { T }_{ 1 }(2)\quad +\quad { R }_{ 1 }(2)\\ \\ ergibt:\\$$

$$ \\ \\ f(0) - f(2) = f(a) + f'(a)(-a) + \frac { f''(\xi ) }{ 2 } (-a)² -\quad \left( f(a) +\ f'(a)(2-a) + \frac { f''(\xi ) }{ 2 } (2-a)² \right) \\ \\ $$

 $$f(0) - f(2) =\quad -2f'(a) + \frac { f''(\xi ) }{ 2 } (-a)²  - \frac { f''(\xi ) }{ 2 } (2-a)² \le  -2f'(a) + \frac { |f''(\xi )| }{ 2 } (-a)² - \frac { |f''(\xi )| }{ 2 } (2-a)²\\ \\$$

$$ \left| f(0) - f(2) \right|  = \left| -2f'(a) + \frac { f''(\xi ) }{ 2 } (-a)² - \frac { f''(\xi ) }{ 2 } (2-a)² \right|  = \left| -2f'(a)+ \frac { f''(\xi )a² }{ 2 }  - \frac { f''(\xi ) }{ 2 } \left( a²- 4a +4 \right)  \right| \\$$

$$ \\ \left| f(0) - f(2) \right|  \le   \left| -2f'(a) \right| +\left| \frac { f''(\xi ) a² }{ 2 }  \right| + \left| \frac { f''(\xi ) }{ 2 } \left( a² - 4a + 4 \right)  \right| \\$$

$$ \\ \left| f(0) - f(2) \right|  - \left| -2f'(a) \right|  \le  \left| f(0) - f(2) + -2f'(a) \right|  \le \left| \frac { f''(\xi ) a² }{ 2 }  \right|  + \left| \frac { f''(\xi ) }{ 2 } \left( a² - 4a+ 4 \right)  \right| \\$$

$$ \\ aus\quad |f''(x)| \le  1\quad folgt\quad damit\quad für\quad |f''(\xi )|:\\ \\ \left| f(0)- f(2) + 2f'(a) \right|  \le  \underset { \uparrow  \ge  0 }{ \left|  \frac { a² }{ 2 }   \right|  }  + \underset { \uparrow  \ge 0 }{ \left| \frac { 1 }{ 2 } \left( a² - 4a + 4 \right)  \right|  }  = \frac { a² }{ 2 }  + \frac { a² }{ 2 }  - 2a + 2 = a² - 2a + 2 = 2 + a(a-2) $$

kann ich das so lassen ? bloss wie komme ich jetzt zu f'(x) ≤ 2 ?

---

Das \(-2f'(a)\) solltest Du auf die linke Seite bringen, bevor Du die Dreiecksungleichung anwendest. Und die Zwischenstelle ist für \(x=0\) im allgemeinen eine andere als für \(x=2\). Da kannst Du nicht beide Male dasselbe Symbol \(\xi\) für schreiben.

---

ja davor, mist sonst stimmt es ja auch nicht mehr mit dem eingeschobenen. werde das eine ε umbenennen.

kann ich für den rest wieder mit dreiecksungleichung sagen für |f'(a)| ≤ 2 und von a,x ∈ [0,2] einfach übertragen?

$$\\ \left| 2f'(a) \right| \quad -\quad \left| f(0)\quad -\quad f(2) \right| \quad \le \quad \left| f(0)\quad -\quad f(2)\quad +\quad 2f'(a) \right| \quad \le \quad 2\quad +\quad a(a-2)\\ $$

$$\\ \left| 2f'(a) \right| \quad -\quad \left| f(0)\quad -\quad f(2) \right| \quad \le \quad 2\quad +\quad a(a-2)\quad \\$$

$$\\ \\ \left| 2f'(a) \right| \quad \le \quad 2\quad +\quad a(a-2)\quad +\quad \left| f(0)\quad -\quad f(2) \right| \quad \le \quad 2\quad +\quad a(a-2)\quad +\quad \left| f(0) \right| \quad +\quad \left| f(2) \right| \\ $$

$$ \\ aus\quad |f(x)|\quad \le \quad 1\quad folgt\quad damit\quad für\quad |f(0)|\quad ,\quad \left| f(2) \right| :\\$$

$$ \\ \left| 2f'(a) \right| \quad \le \quad 2\quad +\quad a(a-2)\quad +\quad \left| f(0) \right| \quad +\quad \left| f(2) \right| \quad \le \quad 2\quad +\quad a(a-2)\quad +\quad 1\quad +\quad 1\\ $$

$$\\ \left| f'(a) \right| \quad \le \quad 1\quad +\quad \frac { a(a-2) }{ 2 } \quad +\quad 1\quad =\quad 2\quad +\quad \frac { a(a-2) }{ 2 } \quad \overset { a\in \left[ 0,2 \right]  }{ \le  } 2\quad +\quad 0\quad =\quad 2$$

---

Ja, passt so!