Multiplikative Inverse in endlicher Körper

Question

Aufgabe:

Ich habe Schwierigkeiten zu verstehen, wie hier das multiplikative Inverse berechnet wird. Könnte es mir jemand erklären? Ein Beispiel wäre super.

Answer 1

Ein Beispiel hängt ja unten an deinem Text: Da geht es um F₁₁,

also das rechnen mit den Resten mod 11.

Da gilt z.B. ( siehst du an der Tabelle, wenn du sie weiter führst,

etwa in der Zeile für die  2, da sind die Ergebnisse von

2*0, 2*1, 2*2, 2*3 , .... bis 2*10

Das wären also

0   ,  2  ,  4,   6  ,  8  , 10  , 1 , ..

Denn 2*6=12 und das ist mod 11 in der gleichen Klasse wie 1.

Also ist 6 das multiplikative Inverse von 2, und wurde so durch

Ausprobieren gefunden.

Für größere Zahlen geht das natürlich schlecht, deshalb wird in

deinem Text ja auf den erweiterten euklid. Algorithmus verwiesen.

siehe auch bei

https://www.mathelounge.de/99230/euklidischer-algorithmus-multiplikative-inverse-von-z113

Ansonsten für einfache Fälle auch schön erklärt bei

https://www.mathelounge.de/915678/wie-berechne-ich-das-multiplikative-inverse-von-311-in-z7

Answer 2

Das steht im Text. Man findet die Inversen durch probieren. Hier mit einer Multiplikationstafel im Körper F11. Ich habe die Ergebnisse von 1 mal leicht hervorgehoben.

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	0	2	4	6	8	10	1	3	5	7	9
3	0	3	6	9	1	4	7	10	2	5	8
4	0	4	8	1	5	9	2	6	10	3	7
5	0	5	10	4	9	3	8	2	7	1	6
6	0	6	1	7	2	8	3	9	4	10	5
7	0	7	3	10	6	2	9	5	1	8	4
8	0	8	5	2	10	7	4	1	9	6	3
9	0	9	7	5	3	1	10	8	6	4	2
10	0	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1