Aufgabe zur Funktionenschar

Question

Aufgabe:

Für jedes \( t \in \mathbb{R} \) ist eine Funktion \( f_{t} \) gegeben durch \( f_{t}(x)=(t-x) e^{x} ; x \in \mathbb{R} \).

a) Skizzieren Sie den Graphen von \( f_{t} \) für \( t=2 \) Welche reellen Zahlen können als Funktionswerte von \( \mathrm{f}_{2} \) vorkommen? Begründen Sie Ihre Antwort.

b) Bestimmen Sie die Koordinaten der Hochpunkte der Graphen von \( \mathrm{f}_{\mathrm{t}} \). Begründen Sie, dass alle Hochpunkte oberhalb der \( x \)-Achse liegen.

c) Bestimmen Sie für \( t=2 \) die Gleichung der Tangente an den Graphen von \( f_{2} \) im Wendepunkt. Der Graph von \( f_{2} \), die Wendetangente und die \( x \)-Achse schließen eine Fläche ein. Bestimmen Sie den Inhalt dieser Fläche.

Problem/Ansatz

Bitte helfen :(

Comments

a)

Alle Funktionswerte ≤ e können vorkommen. Begründung: Das globale Maximum ist bei f₂ (1) = e und der Grenzwert für x → ∞ ist -∞

Answer 1

Hallo

e^x ist nicht rational für alle x≠0 als hat f2 nur die reellen Werte 0 und 2. nach Produktregel ableiten e^x ausklammern f'(x)=0 setzen, das Ergebnis in f(x)  eintragen und sehen dass es immer >0

c)f''(x)=0  bei xw bestimmen f'(xw)    ist Steigung der Tangente durch den Punkt (xw, f(xw))  (Kontrolle xw=0, Tangente y=x+2)

für die Fläche Skizze machen oder Funktionsplotter dann siehst du die Fläche die durch 2 Teilintegrale bestimmen kannst.

Gruß lul

Answer 2

b) f '(x) = 0

Produktregel:

u = t-x, u' = -1

v= e^x, v' = e^x

f'(x) = -e^x+ (t-x)e^x = e^x(-1+t-x)

f '(x) = 0

-1+t-x= 0

x= t-1

f(t-1) = e^(t-1)

e^(t-1) >0

c) WP:

f ''(x)= 0

(-x+t-2)e^x = 0

f2''(x) = 0

-x*e^x = 0

x= 0

t(x) = (x-0)*f '(0) + f(0) = x*1+ (2-0)*e^0 = x+2

https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+%282-x%29*e%5Ex%2C+x%2B2+from+-3+to+3